直线和圆【概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结】

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结

直线和圆

一．直线的倾斜角：

1．定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，如果把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l重合时所转的最小正角记为?，那么?就叫做直线的倾斜角。当直线l与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0；

2．倾斜角的范围?0,??。如

（1）直线xcos??3y?2?0的倾斜角的范围是____

（答：[0，]?[6?5?6； ，?)）

（2）过点P(?3,1),Q(0,m)的直线的倾斜角的范围??[,3?2?3],那么m值的范围是

______

（答：m??2或m?4）

二．直线的斜率：

1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k＝tan?(?≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（

2．斜率公式：经过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率为k??y1?y2x1?x2?x1?x2?；

3．直线的方向向量a?(1,k)，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？

4．应用：证明三点共线： kAB?kBC。如

(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件

（答：既不充分也不必要）； （2）实数x,y满足3x?2y?5?0 (1?x?3)，则

yx的最大值、最小值分别为______

（答：,?1）

32三．直线的方程：

1．点斜式：已知直线过点(x0,y0)斜率为k，则直线方程为y?y0?k(x?x0),它不包括垂直于x轴的直线。

2．斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线方程为y?kx?b,它不包括垂直于x轴的直线。

3．两点式：已知直线经过P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点，则直线方程为它不包括垂直于坐标轴的直线。

4．截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a,b,则直线方程为

xa?yb?1，它不包y?y1y2?y1?x?x1x2?x1，

括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

5．一般式：任何直线均可写成Ax?By?C?0(A,B不同时为0)的形式。如

（1）经过点（2，1）且方向向量为v=(－1,3)的直线的点斜式方程是___________

（答：y?1??3(x?2)）；

（2）直线(m?2)x?(2m?1)y?(3m?4)?0，不管m怎样变化恒过点______

?（答：(?1,?2)）；

（3）若曲线y?a|x|与y?x?a(a?0)有两个公共点，则a的取值范围是_______

（答：a?1）

提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为?1或直线过原点。如过点A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 四．设直线方程的一些常用技巧：

1．知直线纵截距b，常设其方程为y?kx?b；

2．知直线横截距x0，常设其方程为x?my?x0(它不适用于斜率为0的直线)；

3．知直线过点(x0,y0)，当斜率k存在时，常设其方程为y?k(x?x0)?y0，当斜率k不存在时，则其方程为x?x0；

4．与直线l:Ax?By?C?0平行的直线可表示为Ax?By?C1?0； 5．与直线l:Ax?By?C?0垂直的直线可表示为Bx?Ay?C1?0.

提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 五．点到直线的距离及两平行直线间的距离：

（1）点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?CA?B22；

C1?C2A?B22（2）两平行线l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0间的距离为d?六．直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0的位置关系：

。

1．平行?A1B2?A2B1?0（斜率）且B1C2?B2C1?0（在y轴上截距）； 2．相交?A1B2?A2B1?0；

3．重合?A1B2?A2B1?0且B1C2?B2C1?0。 提醒：（1）

A1A2?B1B2?C1C2、

A1A2?B1B2、

A1A2?B1B2?C1C2仅是两直线平行、相交、重合

的充分不必要条件！为什么？（2）在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3）直线l1:A1x?B1y?C1?0与直线l2:A2x?B2y?C2?0垂直?A1A2?B1B2?0。

如（1）设直线l1:x?my?6?0和l2:(m?2)x?3y?2m?0，当m＝_______时l1∥l2；当m＝________时l1?l2；当m_________时l1与l2相交；当m＝_________时l1与l2重合

（答：－1；

12；m?3且m??1；3）；

（2）已知直线l的方程为3x?4y?12?0，则与l平行，且过点（—1，3）的直线方

程是______

（答：3x?4y?9?0）；

（3）两条直线ax?y?4?0与x?y?2?0相交于第一象限，则实数a的取值范围是____

（答：?1?a?2）；

（4）设a,b,c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA?x?ay?c?0与bx?sinB?y?sinC?0的位置关系是____

（答：垂直）；

（5）已知点P1(x1,y1)是直线l:f(x,y)?0上一点，P2(x2,y2)是直线l外一点，则方程f(x,y)?f(x1,y1)?f(x2,y2)＝0所表示的直线与l的关系是____

（答：平行）；

（6）直线l过点（１，０），且被两平行直线3x?y?6?0和3x?y?3?0所截得的线段长为9，则直线l的方程是________

（答：4x?3y?4?0和x?1）

七．到角和夹角公式：

1．l1到l2的角是指直线l1绕着交点按逆时针方向转到和直线l2重合所转的角?，

???0,??且tan?=

k2?k11?k1k2(k1k2??1)；

?k2?k11?k1k2（2）l1与l2的夹角是指不大于直角的角?,??(0,]且tan?=︱

2︱(k1k2??1)。

提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如

已知点M是直线2x?y?4?0与x轴的交点，把直线l绕点M逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是______

（答：3x?y?6?0）

八．对称（中心对称和轴对称）问题——代入法：如

（1）已知点M(a,b)与点N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x?y?0对称，则点Q的坐标为_______

（答：(b,a)）

（2）已知直线l1与l2的夹角平分线为y?x，若l1的方程为ax?by?c?0(ab?0)，那么l2的方程是___________

（答：bx?ay?c?0）；

（3）点Ａ（４，５）关于直线l的对称点为Ｂ(－2,7)，则l的方程是_________

（答：y=3x＋3）；

（4）已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线l:3x－4y+4=0反射。如果反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是_________

（答：18x＋y?51?0）；

（5）已知ΔABC顶点A(3，－１)，ＡＢ边上的中线所在直线的方程为6x+10y－59=0，∠B的平分线所在的方程为x－4y+10=0，求ＢＣ边所在的直线方程

（答：2x?9y?65?0）；

（6）直线2x―y―4=0上有一点Ｐ，它与两定点Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距离之差最大，则Ｐ的坐标是______

（答：（5,6））；

（7）已知A?x轴，B?l:y?x，C（2，1），?ABC周长的最小值为______

（答：10）。

提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。 九．简单的线性规划：

1．二元一次不等式表示的平面区域：①法一：先把二元一次不等式改写成y?kx?b或y?kx?b的形式，前者表示直线的上方区域，后者表示直线的下方区域；法二：用特

殊点判断；②无等号时用虚线表示不包含直线l，有等号时用实线表示包含直线l；③设点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，若Ax1?By1?C与Ax2?By2?C同号，则P，Q在直线l的同侧，异号则在直线l的异侧。如

已知点A（—2，4），B（4，2），且直线l:y?kx?2与线段AB恒相交，则k的取值范围是__________

（答：?－?，－3???1，＋??） 2．线性规划问题中的有关概念：

①满足关于x,y的一次不等式或一次方程的条件叫线性约束条件。 ②关于变量x,y的解析式叫目标函数，关于变量x,y一次式的目标函数叫线性目标函数；

③求目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题； ④满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域； ⑤使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解；

3．求解线性规划问题的步骤是什么？①根据实际问题的约束条件列出不等式；②作出可行域，写出目标函数；③确定目标函数的最优位置，从而获得最优解。如

（1）线性目标函数z=2x－y在线性约束条件|x|?1下，取最小值的最优解是____ （答：（－1，1））；

（2）点（－２，t）在直线2x－3y+6=0的上方，则t的取值范围是_________

（答：t?（3）不等式|x?1|?|y?1|?2表示的平面区域的面积是_________

（答：8）；

x?y?2?0??（4）如果实数x,y满足?x?y?4?0，则z?|x?2y?4|的最大值_________

??2x?y?5?0?|y|?123）；

（答：21）

4．在求解线性规划问题时要注意：①将目标函数改成斜截式方程；②寻找最优解时注意作图规范。 十．圆的方程：

1．圆的标准方程：?x?a???y?b??r2。

2．圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0(D2＋E2－4F?0)，特别提醒：只有当

D＋E－4F?0时，方程x?y?Dx?Ey?F?0才表示圆心为(?1222222222D2,?E2)，半径为

D?E?4F的圆（二元二次方程Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件

22是什么？ （A?C?0,且B?0且D2?E2?4AF?0））；

3．圆的参数方程：x?a?rcos?（?为参数），其中圆心为(a,b)，半径为r。圆的参数方程的主要应用是三角换元：x2?y2?r2?x?rcos?,y?rsin?；x2?y2?t

?x?rcos?,y?rsin?(0?r?t)。

?y?b?rsin?4．A?x1,y1?,B?x2,y2?为直径端点的圆方程?x?x1??x?x2???y?y1??y?y2??0如 （1）圆C与圆(x?1)2?y2?1关于直线y??x对称，则圆C的方程为____________