高中数学必修2-3第二章2.4正态分布

2．4 正态分布

1．问题导航

(1)什么是正态曲线和正态分布？

(2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读

请试做教材P74练习1题．

1．正态曲线

（x－μ）1

函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，

2σ22πσ

φμ，σ(x)的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．

2．正态分布

一般地，如果对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X满足P(a＜X≤b)＝?bφ

2

?a

μ，σ

(x)dx，

则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为________X～N(μ，σ2)．

3．正态曲线的性质

（x－μ）21

正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：

2σ22πσ

(1)曲线位于x轴________上方，与x轴________不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线________x＝μ对称；

1

(3)曲线在________x＝μ处达到峰值________；

σ2π

(4)曲线与x轴之间的面积为________1；

(5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.

4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝________0.682_________6； P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________0.954_________4； P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝________0.997_________4．

1．判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数φμ，σ(x)中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )

(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) (3)正态曲线可以关于y轴对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√

2．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤C)＝P(X＞C)，则C＝( ) A．0 B．σ C．－μ D．μ 答案：D

3．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝( ) 1A. 51C. 3答案：D

1x2

4．已知正态分布密度函数为f(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值

2π4π为________，标准差为________．

答案：0

2π

正态分布的再认识

(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．

(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X的取值区间在(a，b]上的概率等于总体密度函数在[a，b]上的定积分值．

(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．

1B. 41D. 2

正态分布密度曲线

如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，

求出总体随机变量的均值和方差．

1

[解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为，

2π

11

所以μ＝20，＝，

2πσ2π∴σ＝2.

（x－20）21

于是φμ，σ(x)＝·e－，x∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，

42π方差是σ2＝(2)2＝2.

利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x＝

1

μ，另一是最值，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的

σ2π解析式． 扫一扫 进入91导学网(www.91daoxue.com) 正态分布密度曲线

1

1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为 .求该正

42π态分布的概率密度函数的解析式．

解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.

11

由于＝，得σ＝4，

2πσ2π·4

故该正态分布的概率密度函数的解析式是

1x2

φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)．

42π32

求正态分布下的概率

设X～N(1，22)，试求：

(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)．

[解] 因为X～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2) ＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6.

(2)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)， 所以P(3＜X≤5)

1

＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)] 21

＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)] 21

＝[P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)－P(μ－σ＜X≤μ＋σ)] 21

＝(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 2

[互动探究] 在本例条件下，试求P(X≥5)． 解：因为P(X≥5)＝P(X≤－3)， 1

所以P(X≥5)＝[1－P(－3＜X≤5)]

21

＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)] 21

＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)] 21

＝(1－0.954 4)＝0.022 8. 2

(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．

(2)常用结论有

①对任意的a，有P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)； ②P(X＜x0)＝1－P(X≥x0)；

③P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．

2．(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )

(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

解析：选B.由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）0.954 4－0.682 6

故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，

22故选B.

(2)设随机变量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，则P(X＜0)＝________．