2019年湖北省黄冈市中考数学试卷及答案【优质】

（1）直接写出草莓销售单价y（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式； （2）求该合作社所获利润w（万元）与产量x（吨）之间的函数关系式；

（3）为提高农民种植草莓的积极性，合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户，为确保合作社所获利润w′（万元）不低于55万元，产量至少要达到多少吨？

【分析】（1）分0≤x≤30；30≤x≤70；70≤x≤100三段求函数关系式，确定第2段利用待定系数法求解析式；

（2）利用w＝yx﹣p和（1）中y与x的关系式得到w与x的关系式；

（3）把（2）中各段中的w分别减去0.3x得到w′与x的关系式，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质求解．

【解答】解：（1）当0≤x≤30时，y＝2.4； 当30≤x≤70时，设y＝kx+b， 把（30，2.4），（70，2）代入得∴y＝﹣0.01x+2.7； 当70≤x≤100时，y＝2；

（2）当0≤x≤30时，w＝2.4x﹣（x+1）＝1.4x﹣1；

当30≤x≤70时，w＝（﹣0.01x+2.7）x﹣（x+1）＝﹣0.01x2+1.7x﹣1； 当70≤x≤100时，w＝2x﹣（x+1）＝x﹣1；

（3）当0≤x＜30时，w′＝1.4x﹣1﹣0.3x＝1.1x﹣1，当x＝30时，w′的最大值为32，不合题意；

当30≤x≤70时，w′＝﹣0.01x2+1.7x﹣1﹣0.3x＝﹣0.01x2+1.4x﹣1＝﹣0.01（x﹣70）2+48，当x＝70时，w′的最大值为48，不合题意；

当70≤x≤100时，w′＝x﹣1﹣0.3x＝0.7x﹣1，当x＝100时，w′的最大值为69，此时0.7x﹣1≥55，解得x≥80， 所以产量至少要达到80吨．

【点评】本题考查了一次函数的应用：学会建立函数模型的方法；确定自变量的范围和利用一次函数的性质是完整解决问题的关键．

25．（14分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒

个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），

，解得

，

设运动时间为t（秒）．

（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；

（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标； （3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值； （4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；

（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝﹣﹣x+2，即可求P； （3）S＝

2

（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）

+；

（x+2）+2，+

，

（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式y＝﹣求出点K（0，HK2＝

+

），H（，

），由勾股定理可得OK2＝

，OH2＝

，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可；

【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c， 将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得

，

∴，

∴y＝﹣﹣x+2；

（2）∵△PAM≌△PBM， ∴PA＝PB，MA＝MB，

∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点， ∵AB＝2，

∴点P的纵坐标是1， ∴1＝﹣∴x＝﹣1+∴P（﹣1﹣（3）CM＝MD＝4MF＝

﹣x+2， 或x＝﹣1﹣

，

，1）； CM＝2t﹣4， ﹣（2

+

t﹣2

）＝4

﹣

t，

，1）或P（﹣1+t﹣2

，MG＝

﹣（BC+CM）＝4MD＝4﹣t，

∴BF＝4﹣4+t＝t， ∴S＝

（GM+BF）×MF＝

（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣

+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；

当t＝时，S最大值为；

（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2， 直线AQ的解析式y＝﹣∴K（0，∴OK2＝

），H（，

，OH2＝

＝

（x+2）+2， ）， +

+

，HK2＝

，

+

，

①当OK＝OH时，∴m2﹣4m﹣8＝0， ∴m＝2+2

或m＝2﹣2

+

；

＝

+

，

②当OH＝HK时，∴m2﹣8＝0， ∴m＝2

或m＝﹣2

；

＝

+

，0）或Q（2

，不成立； ，0）或Q（﹣2

，0）；

③当OK＝HK时，综上所述：Q（2+2

，0）或Q（2﹣2

【点评】本题考查二次函数综合；熟练应用待定系数法求函数解析式，掌握三角形全等的性质，直

线交点的求法是解题的关键．