有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧

有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。

一、归类

将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：??2??3?1???3??2???4?。 解：原式??3?1?2??????2????3????4??? ?6???9? ??3。 二、凑整

将和为整数的数结合计算。

例2 计算：36.54?22?82?63.46。 解：原式??36.54?63.46??22?82 ?100?22?82 ?122?82 ?40。 三、对消

将相加得零的数结合计算。

例3 计算：5???4??6?4?3???3????2?。 解：原式?????4??4?????5???3????2????6?3 ?0?0?9 ?9。 四、组合

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将分母相同或易于通分的数结合。 例4 计算：?5解：原式??12 ?755115?2?10?12。 249186??55??511??5????2?10? 624??918?51?13 8613 ??5。

24五、分解

将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算：?21111?5?4?3。 4236解：原式???2?5?4?3?????1111????? ?4236? ?2??? ?2??3642????? 12121212??11?2。 1212例6 计算：2008?200920092009?2009?200820082008。 解：原式?2008?2009?100010001?2009?2008?100010001 ?0。 六、转化

将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例7 计算：42????2??3?????????0.25?。 3???4?解：原式??28????????

?3??1??4??4??3?????4? 4?? ??28??? ??28?3 ??25。 七、变序

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运用运算律改变运算顺序。 例8 计算：??12.5????31?????4?????0.1? ?5?解：原式???12.5???4??0.1??31 5? ??1?31??31。 例9 计算：?1??388??7??????1?。

?5915??8?解：原式????888?15???? 5915?8??815815815??????

?5898158???5??1? 3? ???? ???3? ??。 八、约简

13将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

例10 计算：??2.5?????0.125??1.25??0.6?2??1?。

65??11281?4?解：原式???2.5??6???0.125??1.255?2。

1110.6?2??1284九、逆用

正难则反，逆用运算律改变次序。 例11 计算：

2?2?8?3????2?????1??0.25。 5?5?21?4?解：原式?2?5?8?7?1?????????? 5?12?21?4?421811???? 34344- 3 -

??

?1?28??????1? 4?33?1。 4 ?十、观察

根据0、1、?1在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或?1的部分优先计算。

例12 计算：??1????2009???3.75?3????1?解：?3.75?3??1??6??3?4?2009。

32009??1。 ?0，??1?4?原式?0???1???1。

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妙用字母解题

在我们学习的过程中，常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从着手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字，将会收到化繁为简，化难为易的效果． 例1 计算

1??111??111??111??11????1??????1?????????????????2004??232003??232004??232003??23 分析：本题显然不能用常规方法直接计算，观察式子的4个小部分，我们发现各部分的相同项很多，如果把相同部分用一个字母来代替，则可使运算大大简化． 解：设1?111111?????a，?????b． 232003232003aba?b11?1??????． a?a?b???20042004200420042004?2004?? 则原式??b??? 评注：本题是分数计算题，若直接计算是很繁很难的，本题巧用整体思考，妙用字母代替数就简单多了，这充分说明了用字母表示数的作用． 例2 计算17.48?37?174.8?1.9?8.74?88．

分析：本题若直接进行计算也未尝不可，但通过观察发现：17.48，174.8，8.74之间

10a，8.74?有着特殊的关系，若设17.48?a，则174.8?a，这样，原式可化为含字母a2的代数式，我们只需合并同类项，然后将a的取值代入进行求值即可，计算量明显减小． 解：设17.48?a，则174.8?10a，8.74?a，则原式可化为237a?19a?44a??37?19?44?a?100a，将a?17.48代入，得原式?1748．

评注：通过观察数字特点，运用字母代替数，使计算过程简化，收到了事半功倍的效果．

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