高考数学大一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量

课时作业76 高考中期望与方差的热点内容

1．我国的高铁技术发展迅速，铁道部门计划在A、B两城市之间开通高速列车，假设列车在试运行期间，每天在8:00～9:00,9:00～10:00两个时间段内各发一趟由A城开往B城的列车(两车发车情况互不影响)，A城发车时间及概率如下表所示：

发车时间 概率 8:10 1 68:30 1 38:50 1 29:10 1 69:30 1 39:50 1 2若甲、乙两位旅客打算从A城到B城，他们到达A城火车站的时间分别是周六8:00和周日8:20.(只考虑候车时间，不考虑其他因素)

(1)求甲、乙两人候车时间相等的概率；

(2)设乙候车所需时间为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．

解：(1)由题意得，甲、乙两人的候车时间分别是10分钟，30分钟，50分钟的概率为P甲

11111111(10)＝，P甲(30)＝，P甲(50)＝；P乙(10)＝，P乙(30)＝，P乙(50)＝×＝.

632326636所以甲、乙两人候车时间相等的概率

P＝×＋×＋×＝.

(2)ξ的所有可能取值为10,30,50,70,90(单位：分钟)， 所以ξ的分布列为

16111133221173672

ξ P 10 1 330 1 250 1 3670 1 1890 1 12 1

11111280

数学期望E(ξ)＝10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝.

323618129

2．一个口袋装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸2个球(每次摸奖后放回)，2个球颜色不同则为中奖．

(1)试用n表示一次摸奖中奖的概率；

(2)若n＝5，求3次摸奖中奖次数ξ＝1的概率及数学期望； (3)记3次摸奖恰有1次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？ 解：(1)记“一次从(n＋5)个球中摸出2个球”为事件A， card(A)＝

n＋5

2

n＋4

.

“一次从(n＋5)个球中摸出2个球且2个球异色”为事件B，card(B)＝5n， ∴所求概率P＝

10nn＋5n＋4

.

(2)3次放回式摸奖中“每次从(n＋5)个球中摸出2个球且2个球异色”为独立重复事件，

?5?当n＝5时，获奖次数ξ～B?3，?，

?9?

P(ξ＝1)＝

80， 2435593

E(ξ)＝3×＝.

(3)ξ～B(n，p)，

232

P(ξ＝1)＝C13p(1－p)＝3p－6p＋3p,0

1322

令f(p)＝3p－6p＋3p，令f′(p)＝9p－12p＋3＝0，解得p＝.

31

∴当p＝时，f(p)有最大值．

3令p＝

10nn＋5

1

＝，解得n＝20. n＋43

∴当n＝20时，P最大．

3．(2014·四川卷)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设1

每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．

2

(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

2

(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．

解：(1)X可能取值有－200,10,20,100

131010

根据题意，有P(X＝－200)＝C3()(1－)＝，

228

12

P(X＝10)＝C13()(1－)＝，

1

212

1212

3838

21

P(X＝20)＝C23()(1－)＝，

30P(X＝100)＝C33()(1－)＝.

1

21218

故分布列为

X P －200 1 810 3 820 3 8100 1 83317(2)由(1)知：每盘游戏出现音乐的概率是P＝＋＋＝，则玩三盘游戏，至少有一盘

888873511070

出现音乐的概率是P1＝1－C3()(1－)＝.

88512

(3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是

E(X)＝－200×＋10×＋20×＋100×＝－分．

这表明，获得分数X的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．

1

838381854

3

1．(2014·山东卷)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点11

在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的

2313

来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为，假设共有两次来球且落在A，B55上各一次，小明的两次回球互不影响．求：

(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； (2)两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．

解：(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i＝0,1,3)， 11111

则P(A3)＝，P(A1)＝，P(A0)＝1－－＝；

23236

4