(京津专用)高考数学总复习优编增分练：8+6分项练7计数原理(理)

8＋6分项练7

计数原理

1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )

A．48种 B．72种 C．96种 D．216种 答案 C

解析 按照以下顺序涂色，

11111

A：C14→B：C3→D：C2→C：C2→E：C1→F：C2，

所以由分步乘法计数原理得总的方案数为C4·C3·C2·C2·C2＝96.

11111

?x＋1?n2．(2018·钦州质检)二项式??的展开式前三项系数成等差数列，则n等于( )

?2x?

A．6 B．8 C．7 D．9 答案 B

1?kkn－2?解析 展开式的通项为Tk＋1＝??Cnx， ?2?

3kn12

其前三项的系数分别是1，，Cn，

24

据已知得n＝1＋

n?n－1?

8

，

解得n＝8(n＝1舍弃)．

3．(2018·重庆质检)山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( ) A．12 B．24 C．36 D．48 答案 B

解析 因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4， 所以一共有4A3＝24(种)试种方法．

4．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)岳阳高铁站B1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( )

A．24种 B．36种 C．42种 D．60种 答案 D

解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站， 则有A3＝6(种)；

若三名同学从2个不同的检票通道口进站， 则有C3C3A2A2＝36(种)；

若三名同学从1个不同的检票通道口进站， 则有C3A3＝18(种)．

综上，这3个同学的不同进站方式有60种．

1322223

3

?3x＋1?

?n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个5．二项式?3??x??

数为( )

A．7 B．5 C．4 D．3 答案 A

?3x＋1??n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n＝20， 解析 二项式?3??x???3x＋1?

??20展开式的通项为

3??x??

Tk＋1＝C20(3x)

k20－k4?1?20－k??k＝(3)20－kCk3， 20x?3x???

4

展开式的有理项满足20－k(k∈N)的值为整数，

3

据此可得，k可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个．

6．(2018·大同、阳泉质检)若二项式(3－x)(n∈N)展开式中所有项的系数之和为a，所有

n*

项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为( ) 5139

A．2 B. C. D.

262答案 B

解析 令x＝1，可得二项式(3－x)(n∈N)展开式中所有项的系数之和为a＝2，令x＝－1，

n*

baabnba4n2nn1

可得(3－x)展开式中所有项的系数的绝对值之和为 b＝4，则＋＝n＋n＝2＋n，故当nab242

nnba5

＝1时，＋取得最小值. ab2

7．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学质检)某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( ) A．540 B．300 C．180 D．150 答案 D

解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种， 分成1,1,3时，有C5·A3种分法； C5·C33

分成2,2,1时，有2·A3种分法，

A2由分类加法计数原理得，

C5·C33

共有C·A＋2·A3＝150(种)不同的分法．

A2

35

33

2

22

23

3

8．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求

相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( ) A．96 B．72 C．48 D．24 答案 C

解析 第一类，先选择一个小品插入到2个歌曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形成了5个空，将相声插入其中一个，故有A2A2A2A5＝40(种)；第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两边，有A2A2＝4(种)；第三类，相声插入小品之间，再把歌曲插入小品两边，有A2A2＝4(种)，根据分类加法计数原理可得，共有40＋4＋4＝48(种)．

9．(2018·泉州质检)李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有________种． 答案 20

解析 任意相邻两天组合一起，

包括①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，一共有6种情况， 若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，

若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，

故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种)．

22

22

2111

?1?522

10．(2018·上饶模拟)若(x＋2)?2－mx?展开式中x项的系数是40，则实数m的值为

?x?

________． 答案 ±2

2?1?5?1?522

解析 (x＋2)?2－mx?展开式中x项是由?2－mx?展开式中常数项与(x＋2)的二次项之积

?x??x?

2?1?5

和?2－mx?展开式中二次项与(x＋2)的常数项之积组成的．

?x?

??

?1?5

∵?2－mx?的展开式的通项为 x5－kkkk3k－10

Tk＋1＝Ck·(－mx)＝(－m)C5x， 5·?2?

?x?

?1?

10

令3k－10＝0，解得k＝，不合题意，应舍去；

3令3k－10＝2，解得k＝4，

?1?522444

∴(x＋2)?2－mx?的展开式中x项的系数为2·(－m)C5＝40，即m＝4，

?x?

解得m＝±2.

11．(2018·天津河东区模拟)一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2