毕业论文

学科分类号（二级） 11.1460 11.1460

11.1460

本科学生毕业论文（设计）

题 目 反证法对高中证明题的有效应用

姓 名 徐道选 学 号 084080045

院、 系 数学学院 专 业 数学与应用数学

指导教师 林谦

职称（学历） 教授

反证法对高中证明题的有效应用

摘要: 反证法是数学中常用的一种证明方法，它是一种间接证明方法，它从“否定命题的结论” 出发，通过正确逻辑推理“导致矛盾”，达到“推出结论的反面”，从而“肯定这个命题真实”.在不少问题的证明中，有着其它证明方法所不能代替的作用，他贯穿了整个数学的始终，在高中数学和数学竞赛中经常出现，许多问题用直接证明法相当困难，而用反证法能起到化繁为简的作用. 关键词: 反证法； 证明； 数学竞赛； 有效； 快速

1 反证法的历史 1.1 反证法的简介

西方的数学在毕达哥拉斯学派的影响下,认为万物皆数. 用整数和几何图形构建了一个宇宙图式。但是随着这个表征数学史第一次危机“2”的问题的出现,使希腊人重新审视自己的数学,这最终导致希腊人放弃了以数为基础的几何. 第一次危机使人们不能再依靠图形和直观了,须要更多的依靠推理和逻辑;同时危机还使几何学拒绝了无穷小. 此时西方数学成为以证明为主的证明数学,他们要的是准确的数学,或者说他们的数学推崇准确性. 表现形式就是:逻辑、演绎的体系.

虽然希腊人也讲计算,但他们认为计算是初等的、低级的;是几何证明后的一个应用而已。他们重视的是演绎和证明,“明晰的形式证明和公理的使用”就归功于希腊人. 这是

[1]非欧几何的肇始,在《几何原本》中就开始运用反证法了.

哈代曾说过“欧几里得最喜欢用的反证法，是数学家最精良的武器。他比起棋手所用的任何战术还要好：棋手可能需要牺牲一个兵或者其它棋，但数学家牺牲的却是整个游戏.” 在1589年，伽利略就妙用了反证法，那年刚好25岁的伽利略，为了推翻古希腊哲学家亚里士多德的“不同质量的物体从高空下落的速度与其质量成正比”的错误论断，他除了拿两个质量不同的铁球登上著名的比萨斜塔当众做实验来说明外，还应用了反证法.

他首先假设亚里士多德的论断是正确的，设有物体A,B，且（表示的质量，表示的质量），则A应比B先落地.现把A与B捆在一起成为物体A+B，则，故A+B比A先落地；又因A比B落得快，A，B在一起时，B应减慢A的下落速度，所以A+B又因比A后落地，这样便得到了自相矛盾的结果。这个矛盾之所以产生，是由亚里士多德论断所致，因此这个论断是错误的.

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伽利略所采用的证明方法就是反证法. 1.2 反证法的定义

反证法是一中间接证明法，它从“否定命题的结论”出发即先假设结论的反面成立，通过一系列的正确的逻辑推理“导致矛盾”（可以与已知条件、已知公理、定义、定理之一相矛盾或者推出两个相矛盾的结果），达到“推出结论的反面”，从而“肯定这个

[2]命题真实”.

运用反证法的关键在于归谬，因此，反证法又称归谬法.美国著名的数学家、教育家波利亚对这种证明方法作了很风趣的比喻：“归谬法是利用导出一个明显的谬误来证明假设不成立。归谬法是一个数学过程，他和讽刺家所爱好的做法—反话，有几分相似. 反话，很明显地采纳某个见解，强调它并且过分强调它，直到产生一个明显的谬误.”

反证法是一种常见的证明方法，我国古代的成语故事“自相矛盾”中，“以子之矛攻子之盾”，正是采用了反证法. 1.3 反证法的解题步骤

（1）假设 假设所要证明的结论不成立，也就是设结论的反面成立.

（2）归谬 把假设作为辅助条件添加到题目中去，然后从这个条件出发，通过一系列的逻辑推理，最终得出矛盾.

（3）结论 由所得矛盾说明原命题成立. 2 反证法经常用于那些形式的命题

2.1 结论否定形式（如“不是”、“ 不可能”、“不存在”、“没有”、“不可约”等）的命题

这类命题结论的反面比原结论更具体，则适用于反证法.

例1 证明：边长为1的正三角形不能被两个边长小于1的正三角形覆盖.

证明 假设边长为1的正三角形若能被两个边长小于1的正三角形覆盖住，则大的三角形的两个顶点必属于某个小三角形，这显然不可能的，故命题成立. 2.2 某些涉及无理数的命题

q无理数即无限不循环小数很难表示出来，但其反面——有理数可表示成（p，q为

p[3]互质的自然数）的形式.

例2 证明3是无理数.

证明 假设3是有理数，所以有3?2p （q2p,q为互质的自然数），则

q?3p， （1）

因此3必为q的因数，于是又有

q?3m（m为自然数）， （2） 由（1），（2）得

2

2 3p?9m，

222即 p?3m.

所以, 3又为p的因数，于是p,q有公因数3，产生矛盾（p,q为互质的自然数）， 故3是无理数，结论成立.

2.3 论以“唯一”、“至多”、“至少”等形式出现的命题

22例3已知m,n,s,t?R且mn?2(s?t)，求证：x?mx?n?0和x?sx?t?0中至

少有一个方程有根.

证明 假设二个方程都没有实数根，则

2???1?m?4n?0 ? ? 2??s?4t?0??22??m?4n,?2 （1） ??s?4t,由（1）得

m?s?4(n?t).

22又因为

mn?2(s?t)，

22所以 m?s?2ms?0，

2即(m?s)?0，产生矛盾，故命题成立.

2.4 有关唯一性命题

例4 设AB是已知线段，K是已知数， M在AB上，且符合条件AM:MB?K，求证： M是唯一的.

这是一个唯一性问题，可以优先使用反证法来证明. 证明 假设还有一个不同于M的M'，也满足

AM':M'B?K，

由题目可知

AMAM'?， MBM'B应用“合比定理”得

AM?MBAM'?M'BABAB? ???M'B=MB. ''MBMBMBMB这与题目中M'和M是不同的两个点相矛盾 所以M是唯一的一点.

在这个问题中，反证法的应用可以说是非常有效，干脆利落.在假设还存在异于M的

M' 点的基础上，根据已知条件充分灵活地应用“合比定理”，很自然地推出了矛盾. 2.5 命题结论的反面较结论本身更具体、简单，直接证明难以下手时

例5 n个城市有m条公路连接，如果每条公路起点和终点都是两个不同的城市，且

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