高考数学总复习第九章解析几何课时规范练50抛物线理新人教A版

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课时规范练50 抛物线

一、基础巩固组

1.(2017广西桂林一模)若抛物线y=2px(p>0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( )

2

A. B.1 C. D.2

2

2.O为坐标原点,F为抛物线C:y=4x的焦点,P为抛物线C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为( ) A.2 B.2 C.2 D.4

2

3.过抛物线y=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8

2

4.(2017山西运城模拟)已知抛物线x=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为( )

A.x=y B.x=6y 22C.x=-3y D.x=3y

2

5.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为( ) A.2 B.4 C.5 D.6

2

6.(2017黑龙江大庆二模,理11)已知抛物线y=4x,过焦点F作直线与抛物线交于点A,B(点A在x轴下方),点A1与点A关于x轴对称,若直线AB斜率为1,则直线A1B的斜率为( )

A. B. C. D.

2

7.如图,过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 ( ) 2

A.y=9x 2

B.y=6x 2

C.y=3x 2

D.y=x ?导学号?

2

8.已知抛物线y=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为 .

2

2

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9.已知点F为抛物线y=12x的焦点,过点F的直线l与抛物线在第一象限内的交点为A,过A作AH垂直抛物线的准线于H,若直线l的倾斜角α∈,则△AFH面积的最小值为 .

2

10.(2017全国Ⅱ,理16)已知F是抛物线C:y=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|= . ?导学号?

二、综合提升组

2

11.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )

A. B.2 C. D.3 12.

2

(2017河北衡水中学三调,理11)如图,已知抛物线的方程为x=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于( )

A. B. C. D.

222

13.(2017北京顺义二模,理13)已知抛物线y=2px(p>0)的准线为l,若l与圆x+y+6x+5=0的交点为A,B,且|AB|=2,则p的值为 . 14.

(2017石家庄二中模拟,理20)已知点F(1,0),动点M,N分别在x轴,y轴上运动,MN⊥NF,Q为平面上一点,=0,过点Q作QP平行于x轴交MN的延长线于点P. (1)求点P的轨迹曲线E的方程;

(2)过点Q作x轴的垂线l,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交曲线E于A,B两点(直线AB不过点F),交l于C,D两点.若线段AB中点的轨迹方程为y2=2x-4,求△CDF与△ABF的面积之比.

?导学号?

三、创新应用组 2

15.(2017山东菏泽一模)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,以抛物线C上的点

2

M(x0,2|MA|,若

为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为

=2,则|AF|= .

课时规范练50 抛物线

1.D 由题意,3x0=x0+,∴x0=,

=2.

∵p>0,∴p=2,故选D.

2.C 利用|PF|=xP+=4,可得xP=3

∴yP=±2S△POF=|OF|·|yP|=2故选C. 3.D 由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.

设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.

由抛物线的定义知

|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=2×4=8. 4.D 设点M(x1,y1),N(x2,y2).

由消去y,

2

得x-2ax+2a=0,

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所以=3,即a=3,

2

因此所求的抛物线方程是x=3y.

2

5.A ∵抛物线y=4x,∴p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为

x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=2,故选A.

2

6.C 抛物线y=4x上的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),A1(x1,-y1),

则可设直线AB的方程为y=x-1,联立方程

2

可得x-6x+1=0, 则有x1+x2=6,x1x2=1,

直线A1B的斜率k=,

所以直线A1B的斜率为,故选C.

7.C 如图,分别过点A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,

由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|. ∵|BC|=2|BF|, ∴|BC|=2|BB1|.

∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°.

连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,

则|KF|=|A1F1|=|AA1|=|AF|,即p=,

2

故抛物线方程为y=3x.

8.2 由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.

依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2. 9.36

设点A的坐标为(x,y)(y>0),直线l的倾斜角,则x≥9.

故△AFH的面积S=(x+3)y.

令t=S=(x+3)×12x=3x(x+3).

2

则t'=3(x+3)+6x(x+3)=3(x+3)(3x+3)>0,函数t单调递增. 故当x=9时,S最小,此时=3×9×12,即Smin=3610.6 设N(0,a),由题意可知F(2,0).

又M为FN的中点,

则M

因为点M在抛物线C上, 所以=8,即a=32, 即a=±4

所以N(0,±4). 所以|FN|

2

2

2

2

2

==6.

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11.B 由题可知l2:x=-1是抛物线y=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.

12.D 设直线PQ的方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),

由得x-2pkx+2p=0, 则x1+x2=2pk,x1x2=2p,

2

2

kBP=kBP+kBQ====,kBQ=,

=0,

即kBP+kBQ=0, ① 又kBP·kBQ=-3, ②

联立①②解得kBP=,kBQ=-所以∠BNM=,∠BMN=,

,

故∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=,故选D.

13.4或8 抛物线y=2px的焦点F,准线x=-,准线与x轴相交于点H.圆x+y+6x+5=0的标准

22

方程为(x+3)+y=4,则圆心E(-3,0),半径为2,假设抛物线的准线在圆心的右侧,

由|AB|=2

,则A,则|AH|=,|AE|=2,

2

2

2

∴|EH|=1,则|EH|+=|OE|,

即1+=3,则p=4.

设抛物线的准线在圆心的左侧,由|AB|=2则|AH|=,|AE|=2, 则|OE|+|EH|=,

即3+1=,则p=8, ∴p的值为4或8.

14.解 (1)设P(x,y),由N为Q,F的中点可得N为P,M的中点,则M,N分别为M(-,则A,

x,0),N,

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