新版高考数学理科必考题型：第31练空间角的突破方略(含答案)

9.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是________． 答案 90°

解析 方法一 连接MD1，易证△DD1M≌△CDN， 则∠NDM＝∠DD1M，

∴∠NDM＋∠D1MD＝∠DD1M＋∠D1MD＝90°， 即DN⊥D1M，又A1D1⊥平面DC1， ∴A1D1⊥DN，∴DN⊥平面A1D1M. ∵A1M?平面A1D1M，∴A1M⊥DN. 即A1M与DN所成的角为90°. 方法二 (空间向量法)

以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴， 设正方体边长为2，

则D(0,0,0)，N(0,2,1)，M(0,1,0)，A1(2,0,2)， →→

∴DN＝(0,2,1)，MA1＝(2，－1,2)， →→DN·MA1→→

cos〈DN，MA1〉＝＝0，

→→|DN||MA1|∴A1M与DN的夹角为90°.

10．正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 答案 30°

解析 如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O－xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，

aa则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，P(0，－，)，

22aa→→→

则CA＝(2a,0,0)，AP＝(－a，－，)，CB＝(a，a,0)．

22设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)， →CB·na1→

则cos〈CB，n〉＝＝＝. 22→2a·2|CB||n|→

∴〈CB，n〉＝60°，

∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°.

11．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，E为AD的中点，M是棱PC的中点，PA＝PD＝2，BC＝1

2AD＝1，CD＝3.

(1)求证：PE⊥平面ABCD；

(2)求直线BM与平面ABCD所成角的正切值； (3)求直线BM与CD所成角的余弦值． (1)证明 因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PE⊥平面ABCD.

(2)解 连接EC，设EC的中点为H， 连接MH，HB，如图．

因为M是PC的中点，H是EC的中点，所以MH∥PE. 由(1)，知PE⊥平面ABCD， 所以MH⊥平面ABCD，

所以HB是BM在平面ABCD内的射影． 所以∠MBH为直线BM与平面ABCD所成的角．

因为AD∥BC，BC＝1

2AD，E为AD的中点，∠ADC＝90°，

所以四边形BCDE为矩形， 所以EC＝2，HB＝1

2EC＝1.

又MH＝13

2PE＝2

，

所以在△MHB中，tan∠MBH＝MH3

HB＝2. 所以直线BM与平面ABCD所成角的正切值为3

2

. (3)解 由(2)，知CD∥BE，

所以直线BM与CD所成角为直线BM与BE的夹角． 连接ME，在Rt△MHE中，ME＝72，同理求得BM＝72

， 又BE＝CD＝3，

MEB中，cos∠MBE＝BM2＋BE2－ME2

所以在△2BM×BE

77＋3－4421＝＝，

772××3

2

所以直线BM与CD所成角的余弦值为

21. 7

12.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB＝60°，AD＝2，AM＝1，E是AB的中点． (1)求证：AN∥平面MEC；

π(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角P－EC－D的大小为？若存在，6求出AP的长；若不存在，请说明理由． (1)证明 由已知，MN∥AD∥BC，连接BN， 设CM与BN交于F，连接EF，如图所示． 又MN＝AD＝BC，

所以四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点． 又E是AB的中点， 所以AN∥EF. 因为EF?平面MEC， AN?平面MEC， 所以AN∥平面MEC.

(2)解 如图所示，假设在线段AM上存在点P， π

使二面角P－EC－D的大小为.

6

延长DA，CE交于点Q，过A作AH⊥EQ于H，连接PH. 因为四边形ADNM是矩形， 平面ADNM⊥平面ABCD， 所以MA⊥平面ABCD， 又CQ?平面ABCD，

所以MA⊥EQ，EQ⊥平面PAH，

所以EQ⊥PH，∠PHA为二面角P－EC－D的平面角． π

由题意，知∠PHA＝. 6

在△QAE中，AE＝1，AQ＝2，∠QAE＝120°， 则EQ＝12＋22－2×1×2cos 120°＝7， AE×AQsin 120°所以AH＝＝

EQ

3. 7

π

又在Rt△PAH中，∠PHA＝，

6则AP＝AH×tan 30°＝3317

×＝＝<1. 7377

所以在线段AM上存在点P， π

使二面角P－EC－D的大小为，

6

7. 7

此时AP的长为