新版高考数学理科必考题型：第31练空间角的突破方略(含答案)

1 1 第31练 空间角的突破方略

[内容精要] 空间角包括异面直线所成的角，线面角以及二面角，在高考中频繁出现，也是高考立体几何题目中的难点所在．掌握好本节内容：首先要理解这些角的概念，其次要弄清这些角的范围，最后才是求解这些角．

题型一 异面直线所成的角

例1 在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角．

→→→→→→→→→→

破题切入点 利用BA1·AC＝|BA1|·|AC|×cos〈BA1，AC〉，求出向量BA1与AC的夹角〈BA1，AC〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角．还可用几何法或坐标法． →→→→→→解 方法一 因为BA1＝BA＋BB1，AC＝AB＋BC， →→→→→→所以BA1·AC＝(BA＋BB1)·(AB＋BC) →→→→→→→→＝BA·AB＋BA·BC＋BB1·AB＋BB1·BC. 因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， →→→→所以BA·BC＝0，BB1·AB＝0， →→→→BB1·BC＝0，BA·AB＝－a2. →→所以BA1·AC＝－a2.

→→→→→→又BA1·AC＝|BA1|·|AC|·cos〈BA1，AC〉， →→

cos〈BA1，AC〉＝

－a21

＝－. 22a×2a

→→

所以〈BA1，AC〉＝120°.

所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.

方法二 连接A1C1，BC1，则由条件可知A1C1∥AC， 从而BA1与AC所成的角亦为BA1与A1C1所成的角， 由于该几何体为边长为a的正方体， 于是△A1BC1为正三角形，∠BA1C1＝60°， 从而所求异面直线BA1与AC所成的角为60°.

方法三 由于该几何体为正方体，所以DA，DC，DD1两两垂直且长度均为a，

→→→

于是以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，

于是有A(a,0,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)，B(a，a,0)， →→

从而AC＝(－a，a,0)，BA1＝(0，－a，a)， →→→→且|AC|＝|BA1|＝2a，AC·BA1＝－a2， －a21→→

∴cos〈AC，BA1〉＝＝－，

22a·2a→→

〈AC，BA1〉＝120°，

所以所求异面直线BA1与AC所成角为60°. 题型二 直线与平面所成的角

例2 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点． (1)证明：PE⊥BC；

(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．

破题切入点 平面的法向量是利用向量方法解决位置关系或夹角的关键，本题可通过建立坐标系，利用待定系数法求出平面PEH的法向量．

(1)证明 以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长度，建立空间直角坐标系(如图)， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)．

设C(m,0,0)，P(0,0，n) (m<0，n>0)，则D(0，m,0)， 1m?E??2，2，0?.

1m→→

，，－n?，BC＝(m，－1,0)． 可得PE＝??22?→→mm

因为PE·BC＝－＋0＝0，所以PE⊥BC.

22(2)解 由已知条件可得m＝－故C?－

3

，n＝1， 3

?

33?3????1

，0，0，D0，－，0，E，－，0，P(0,0,1)． 336????2?

设n＝(x，y，z)为平面PEH的法向量，

→13??HE＝0，?x－y＝0，?n·

6则?即?2

→??HP＝0，?n·?z＝0.

→

因此可以取n＝(1，3，0)．又PA＝(1,0，－1)， 2→

所以|cos〈PA，n〉|＝. 4

所以直线PA与平面PEH所成角的正弦值为题型三 二面角

例3 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB1

⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.

2(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明：平面AMD⊥平面CDE； (3)求二面角A－CD－E的余弦值．

破题切入点 以点A为坐标原点建立空间直角坐标系．

(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，11，1，?. 依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M?2??2→→

BF＝(－1,0,1)，DE＝(0，－1,1)，

→→BF·DE0＋0＋11→→

于是cos〈BF，DE〉＝＝＝. 2→→2·2|BF||DE|所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.

11→→→→→→→

，1，?，CE＝(－1,0,1)，AD＝(0,2,0)，可得CE·(2)证明 由AM＝?AM＝0，CE·AD＝0. 2??2因此，CE⊥AM，CE⊥AD.又AM∩AD＝A， 故CE⊥平面AMD.而CE?平面CDE， 所以平面AMD⊥平面CDE.

(3)解 设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，则 →??－x＋z＝0，CE＝0，?u·?

?于是?

?→－y＋z＝0.??DE＝0.?u·

2

. 4

令x＝1可得u＝(1,1,1)．

又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0,0,1)． u·v0＋0＋13

所以cos ?u，v?＝＝＝. |u||v|33×1

因为二面角A－CD－E为锐角，所以其余弦值为3. 3

总结提高 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角． π

(1)异面直线所成的角的范围是(0，]．求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移

2动直线，把异面问题转化为共面问题来解决． 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；

②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角．

π

(2)直线与平面所成的角的范围是[0，]．求直线和平面所成的角用的是射影转化法．

2具体步骤如下：

①找过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连接垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算．

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角

中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θ≤α. (3)确定点的射影位置有以下几种方法：

①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；

②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；

③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上； ④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：

a．如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；

b．如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；

c．如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心； (4)二面角的范围是(0，π]，解题时要注意图形的位置和题目的要求．作二面角的平面角常有三种方法．