人教版高中数学必修1至必修5知识点总结(复习专用)

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即k?tan?。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

?当??0?,90?时，k?0； 当??90?,180?时，k?0； 当??90时，k不存在。

????②过两点的直线的斜率公式：k?y2?y1(x1?x2) （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

x2?x1注意下面四点：(1)当x1?x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与P1、P2的顺序无关；

(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）直线方程

①点斜式：y?y1?k(x?x1)直线斜率k，且过点?x1,y1?

注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：y?kx?b，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：

y?y1x?x1?（x1?x2,y1?y2）直线两点?x1,y1?，?x2,y2?

y2?y1x2?x1④截矩式：别为a,b。

xy??1其中直线l与x轴交于点(a,0),与y轴交于点(0,b),即l与x轴、y轴的截距分ab⑤一般式：Ax?By?C?0（A，B不全为0）

1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 注意：○

平行于x轴的直线：y?b（b为常数）； 平行于y轴的直线：x?a（a为常数）； （6）两直线平行与垂直 当l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2时，

l1//l2?k1?k2,b1?b2； l1?l2?k1k2??1

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点

l1:A1x?B1y?C1?0l2:A2x?B2y?C2?0相交

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A1x?B1y?C1?0交点坐标即方程组?的一组解。 ??A2x?B2y?C2?0方程组无解?l1//l2 ； 方程组有无数解?l1与l2重合

（8）两点间距离公式：设A(x1,y1)，（是平面直角坐标系中的两个点， Bx2,y2）则|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2 （9）点到直线距离公式：一点P?x0,y0?到直线l1:Ax?By?C?0的距离d?Ax0?By0?C

22A?B（10）两平行直线距离公式

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax?By?C1?0，

l2：Ax?By?C2?0，则l1与l2的距离为d?C1?C2A?B22

第四章 圆与方程

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程

（1）标准方程?x?a???y?b??r2，圆心

22?a,b?，半径为r；

点M(x0,y0)与圆(x?a)2?(y?b)2?r2的位置关系： 当(x0?a)2?(y0?b)2>r，点在圆外 当(x0?a)2?(y0?b)2=r，点在圆上 当(x0?a)2?(y0?b)2

DE?，半径为r?1D2?E2?4F 当D?E?4F?0时，方程表示圆，此时圆心为???,???22?222222（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：

（1）设直线l:Ax?By?C?0，圆C:?x?a?2??y?b?2?r2，圆心C?a,b?到l的距离为

d?Aa?Bb?C，则有dA2?B2?r?l与C相离；d?r?l与C相切；d?r?l与C相交

（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】

222 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为

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(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

必修三

：辗转相除法与更相减损术（1）辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

①用较大的数m除以较小的数n得到一个商数；若

S0和一个余数R0；②若R0＝0，则n为m，n的最大公约

R0≠0，则用除数n除以余数R0得到一个商S1和一个余数R1；③若R1＝0，则R1为m，n的最大公R1≠0，则用除数R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2；?? 依次计算直至Rn＝

Rn?1即为所求的最大公约数。

约数；若

0，此时所得到的

（2）更相减损术

①任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。②以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

（3）辗转相除法与更相减损术的区别：

①都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。

②从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到

8：秦九韶算法与排序 （1）秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-1x+?.+a1x+a0求值问题

nn-1n-1n-2n-2n-3

f(x)=anx+an-1x+?.+a1x+a0=( anx+an-1x+?.+a1)x+a0 =(( anx+an-1x+?.+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多项式的值时，首先计算最内层括号内依次多项式的值，即v1=anx+an-1然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0

这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。

第二章：统计

1：简单随机抽样 类别 共同点 各自特点 相互关系 适用范围 简单随抽样过程从总体中逐个抽取 总体中的机抽样 中每个个体被个体数较少 系统抽抽取的机会相将总体均匀分成几部分，按再起时部分抽样时总体中的等 样 事先确定的规则在各部分抽取 采用简单随机抽样 个数较多 分成抽经总体分成几层，分层进行各层抽样时采用简总体由差样 抽取 单随机抽样 异明显的几部分组成 4：用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）样本均值：x?x1?x2???xn

n2(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2（2）样本标准差：s?s?

n用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。

（3）众数：在样本数据中，频率分布最大值所对应的样本数据（可以是多个）。

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（4）中位数：在样本数据中，累计频率为1.5时所对应的样本数据值（只有一个）。

第三章：概 率

2：概率的基本性质

（1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1 （2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（3）若A∩B为不可能事件，即A∩B=?，那么称事件A与事件B互斥；

（4）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件； （5）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) （6）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：① 事件A发生且事件B不发生；②事件A不发生且事件B发生；③事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；④事件A发生B不发生；⑤事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件

（1）基本事件：基本事件是在一次试验中所有可能发生的基本结果中的一个，它是试验中不能再分的最简单的随机事件。

（2）基本事件的特点：①任何两个基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：

（1）古典概型的条件：古典概型是一种特殊的数学模型，这种模型满足两个条件： ①试验结果的有限性和所有结果的等可能性。②所有基本事件必须是有限个。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数；

②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式p(A)?A所包含的基本事件的个数

总的基本事件个数5：几何概型

（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；

（2）几何概型的概率公式：p(A)?构成事件A的区域长度（面积或体积）；

试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）（3）几何概型的特点：①试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出

现的可能性相等．

注意：几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个。其特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状位置无关，值域该区域的大小有关。如果随即事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果一个随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但他不是必然事件。

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