解析几何难点解析（学生版）

重庆大东方学校沙坪坝校区2014高三(下)数学6 20140404

第六、七讲 解析几何难点解析

难点一．圆锥曲线中的定点、定值问题

该类问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明．难度较大．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

【典例分析】

例1、已知动圆C与圆C1:(x?1)2?y2?1相外切，与圆C2:(x?1)2?y2?9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A． （I）求轨迹T的方程； (Ⅱ)已知直线l：y?kx?m与轨迹为T相交于M,N两点（M,N不在x轴上）．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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x2y23 例2、已知椭圆2?2?1?a?b?0?的离心率为e?，直线y?x?2与以原点为圆心、椭圆Cab2的短半轴长为半径的圆O相切. （1）求椭圆C的方程；

（2）如下图，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2m?k为定值.

【方法总结】定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本解思想是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题．

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1．求定值问题常见的方法有两种：

(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 2．定点的探索与证明问题：

(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y?kx?m，然后利用条件建立k,m等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关． 【变式训练】

１． 已知椭圆的中心为原点O，长轴长为42，一条准线的方程为y?（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）射线y?22x?x?0?与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A,B 两点（A,B两点异于M）．求证：直线AB的斜率为定值．

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2．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2?4x相交于不同的两点A，B.

????????（I）如果直线l过抛物线的焦点，求OA?OB的值；

????????（II）如果OA?OB??4，证明直线l必过一定点，并求出该定点坐标．

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