山东省济南市高考数学一模试卷(理科) Word版含解析

爱爱爱大大的当x﹣=时，函数f（x）取得最大值为1×2+1=3．

，3]．

故得函数f（x）在[0，π]上的值域为[

17．如图，正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为2，下底面中心为O，上、下底面边长分别为2和4．

（1）证明：直线OC1∥平面ADD1A1； （2）求二面角B﹣CC1﹣O的余弦值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）法一：推导出四边形AOC1A1是平行四边形，从而AA1∥OC1，由此能证明直线OC1∥平面ADD1A1．

法二：设上底面中心为O1，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线OC1∥平面ADD1A1．

（2）求出平面BCC1的法向量和平面CC1O的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣CC1﹣O的余弦值．

【解答】证明：（1）证法一：∵正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高为2， 下底面中心为O，上、下底面边长分别为2和4． ∴AO

A1C1，∴四边形AOC1A1是平行四边形，

∴AA1∥OC1，

∵AA1?平面ADD1A1，OC1?平面ADD1A1， ∴直线OC1∥平面ADD1A1．

证法二：设上底面中心为O1，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，

建立空间直角坐标系， O（0，0，0），C1（﹣D（﹣

，0，2），A1（

，0，2），A（2

），

房东是个大帅哥 ，0，0），

爱爱爱大大的=（0，﹣，2），=（﹣2，﹣，0），=（﹣，0，2），

设平面ADD1A1的法向量=（x，y，z）， 则

=﹣2+2=0．

∵OC1?平面ADD1A1， ∴直线OC1∥平面ADD1A1． 解：（2）B（0，=（﹣2

，﹣

，0），C（﹣2，0），

，0，0），

，2），

，取x=

，得=（

，﹣2

，1），

=（﹣

设平面BCC1的法向量=（x，y，z）， 则

，取x=1，得=（1，﹣2，﹣

），

平面CC1O的法向量=（1，0，0）， 设二面角B﹣CC1﹣O的平面角为θ， 则cosθ=

=

=

．

．

∴二面角B﹣CC1﹣O的余弦值为

18．已知{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，S3=9，并且a2，a5，a14成等比数列，数列{bn}的前n项和为Tn=

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爱爱爱大大的（1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）若cn=

，求数列{cn}的前n项和M．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）列方程组计算a1和公差d，得出an，利用bn+1=Tn+1﹣Tn得出bn+1，从而得出bn；

（2）化简cn，使用错位相减法计算Mn． 【解答】解：（1）设{an}的公差为d， ∵S3=9，并且a2，a5，a14成等比数列， ∴

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1． ∵Tn=

=（3n﹣1），∴Tn+1=（3n+1﹣1），

，解得a1=1，d=2．

∴bn+1=Tn+1﹣Tn=（3n+1﹣3n）=3?3n=3n+1． ∴bn=3n． （2）cn=∴Mn=+∴Mn=

+

++…++…+=

，① ，②

=

=

，

①﹣②得： Mn=1++++…+﹣=1+﹣=﹣

， ∴Mn=﹣

19．2017年1月25日智能共享单车项目摩拜单车正式登陆济南，两种车型采用分段计费的方式，Mobike Lite型（Lite版）每30分钟收0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算）．有甲、乙、丙三人相互对立的到租车点租车骑行（各租

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爱爱爱大大的一车一次）．设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，三人租车时间都不会超过60分钟，甲、乙均租用Lite版单车，丙租用经典版单车． （1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；

（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过30分钟还车．其概率P=

×

．

（2）ξ的取值可能为1.5，2，2.5，3．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．

【解答】解：（1）甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用必然是：甲、乙两人半小时内还车，而丙超过30分钟还车．其概率P=（2）ξ的取值可能为1.5，2，2.5，3．

P（ξ=1.5）=××=，P（ξ=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=

，

×

=．

P（ξ=2.5）=（1﹣）×（1﹣）×+×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）=

，

．

P（ξ=3）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=∴ξ的分布列为：

ξ P Eξ=1.5×+2×

1.5 2 2.5 3 +2.5×+3×=．

20．已知函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+lnx，其中a∈R． （1）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a=0时，设g（x）=﹣xf（x）+2，是否存在区间[m，n]?（1，+∞）使得函数g（x）在区间[m，n]上的值域为[k（m+2），k（n+2）]？若存在，求实

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