全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 求数列的通项公式

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面可考虑将等式转化为纯Sn或纯an的递推式，然后再求出an的通项公式。 例：已知数列?an?各项均为正数，Sn?an?an?1?2

,n?N?，求an

解：Sn?an?an?1?2,Sn?1?an?1?an?1?1?2an?an?1?2两式相减，可得：Sn?Sn?1??an?1?an?1?1?2?n?N,n?2?

?22an?an22?1?an?an?1?an??an?an?1?an?an?1

2?an?an?1??an?an?1??an?an?1? ?an?0 ?an?an?1?1

??an?是公差为1的等差数列

在Sn?an?an?1?2中，令n?1，可得S1?a1?a1?1?2?a1?1

?an?a1??n?1?d?n

5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。（详见例5，例8）以上面的一个例子为例：数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式 解：?an?3an?1?2 ① ?an?1?3an?2 ② ②?①可得：

an?1?an?3?an?an?1?

??an?1?an?是公比为3的等比数列 a2?3a1?2?5 ?a2?a1?4

?an?1?an??a2?a1??3n?1?4?3n?1

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?an?an?1?4?3n?2 an?1?an?2?4?3n?3

?

a2?a1?4?30

累加后可得：an?a1?41?3???3?n?23n?1?1??4?3?1?2?3n?1?2

?an?2?3n?1?1

6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明（详见数学归纳法）

例1：在数列?an?中，a1?1,an?项公式an

思路：观察递推公式中?nan?1?2n?3n?2?n?N,n?2?，求数列?an?的通n?1?1?an?1??n的特点，两边同时除以n可得?n?1?an1aa?an?1?2?3n?2，进而可将n视为一个整体，利用累加法即可得到n的表达式，nn?1nn从而求出an

nan?1?2n?3n?2 n?1a1aa?n?an?1?2?3n?2即n?n?1?2?3n?2 nn?1nn?1aan?2则有n?n?1?2?3

nn?1aan?3 n?1?n?2?2?3

n?1n?2解：an? ?

a2a1??2 21n?123?1??ann?2累加可得： ?a1?2?1?3???3??n3?1即

an?a1?3n?1?1?3n?1 n?an?n?3n?1

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22Sn例2：已知在数列?an?中，a1?1，an?，则?an?的通项公式为_________

2Sn?1思路：在本题中很难直接消去Sn，所以考虑an用Sn?Sn?1进行表示，求出Sn之后再解出an 解： ?当n?2,n?N?时，an?Sn?Sn?1

22Sn22，整理可得： ?Sn?Sn?1??2Sn?Sn?2SnSn?1?Sn?1?2Sn2Sn?1Sn?1?Sn?2SnSn?1

?1?11????2 ??为公差为2的等差数列

SnSn?1?Sn??111 ???n?1??2?2n?1 ?Sn?2n?1SnS11?1?,n?2? an??2n?12n?3??1,n?1点评：在Sn,an同时存在的等式中，

例3：数列?an?满足a1?0,an?1?an?2n，则a2015?_________

思路：只从所给递推公式很难进行变形，所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即

an?an?1?2?n?1?,?n?2,n?N??，两式相减可得：an?1?an?1?2,?n?2,n?N??，从

而可得在?an?中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以

a2015?a1?1007d?2014

答案：2014

例4：已知数列?an?满足：a1?通项公式为_________

思路：观察到递推公式的分子只有an?1，所以考虑两边同取倒数，再进行变形：

33nan?1n?2,n?N??，则数列?an?的，且an??22an?1?n?1an?3nan?112a?n?12n?1n2n?1??n?1?????，从而找到同构

2an?1?n?1an3nan?13n3nan?1an33an?1全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编

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特点，并设为辅助数列：bn?n，求出?bn?通项公式后即可解出an an解：an?3nan?112an?1?n?12n?1 ? ???2an?1?n?1an3nan?13n3nan?1?12n2n?1n12 设bn?，则bn?bn?1?，b1????

33an33an?1ana13而bn?1211bn?1??bn?1??bn?1?1? ??bn?1?为公比是的等比数列 3333n?1?1??bn?1??b1?1?????3?nn?1??1??1??? ?bn?1???即an?3??3?nnn?3n ?an??nn3?1?1?1????3?例5：已知数列?an?为正项数列，且

4S14S24Sn?????Sn，求an a1?2a2?2an?2解：

4S14S24Sn?????Sn ① a1?2a2?2an?24S14S24S????n?1?Sn?1 ?n?2,n?N?? ② a1?2a2?2an?1?2

①?②可得：

4Sn2?an?4Sn?an?2an，n?2

an?2在已知等式中令n?1，可得：

4S1?S1?4S1?a1?a1?2? ③，满足上式 a1?22?4Sn?an?2an ④ 24Sn?1?an?1?2an?1 ⑤

22两式相减可得：4an?an?2an?an?1?2an?1

?2?an?an?1??an?an?1，?an?an?1??an?an?1??an?an?1?

2222 ?an?an?1?2

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