全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编 求数列的通项公式

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第53炼 求数列的通项公式

一、基础知识——求通项公式的方法 1、累加（累乘法）

（1）累加法：如果递推公式形式为：an?1?an?f?n?，则可利用累加法求通项公式 ① 等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和 ② an?1,an的系数相同，且为作差的形式

例：数列?an?满足：a1?1，且an?1?an?2n?1，求an 解：an?1?an?2n?1

an?an?1?2n?1?1

?

a2?a1?21?1

累加可得：an?a1?2?22???2n?1??n?1?

?2?2n?1?1?2?1?n?1?2n?n?3

?an?2n?n?2

（2）累乘法：如果递推公式形式为：

an?1?f?n?，则可利用累加法求通项公式 an例：已知数列?an?满足：a1?1，且nan?1??n?1?an，求an 解：nan?1??n?1?an?an?1n?1 ?ann?anan?1ann?12????2????? an?1an?2a1n?1n?21an?n ?an?nan1? a1?2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通

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项公式

（1）形如an?pan?1?q?p?1,q?0?的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。

例：数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2，求数列?an?的通项公式

思路：观察到an与an?1有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对an与an?1分别加上同一个常数?，使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出? 解：设an???3?an?1???即an?3an?1?2? 对比an?3an?1?2，可得??1

?an?1?3?an?1?1?

??an?1?是公比为3的等比数列

n?1 ?an?1??a1?1??3n?1 ?an?2?3?1（2）形如an?pan?1?qn，此类问题可先处理qn，两边同时除以qn，得

anan?1?p?1，nnqq进而构造成

anpan?1anp，设，从而变成???1b?b??bn?1?1，从而将问题转化为nnnn?1nqqqqq第（1）个问题

例：在数列?an?中，a1?1，an?3an?1?2?3n 解：an?3an?1?2?3n

?anan?1??2 3n3n?1?an???n?是公差为2的等差数列 ?3??ana15??n?1?2?2n? ??n13335???an??2n???3n

3??小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如an?pan?1?f?n?（其中f?n?全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编

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为关于n的表达式），可两边同时除以pn，

ananan?1f?n?。设，即b???nnnn?1nppppbn?bn?1?f?n?pn，进而只要

f?n?pn可进行求和，便可用累加的方法求出bn，进而求出bn。

以（1）中的例题为例：

anan?1?1??an?3an?1?2 ?n?n?1?2???

33?3?设bn?nan1b?，则 1n33n?1??bn?bn?1?2???

?3?bn?1?bn?2 ?

?1??2????3?n?1

?1??b2?b1?2???

?3?n?11??1??1????2?23nn?13?3??1??1?????11??1???????bn?b1?2?????????????2???1????

13333?????????????3???1?321?1?12?1??bn?????????

3?3?33?3?an2?1??n?????an?2?3n?1?1 33?3?（3）形如：qan?1?pan?anan?1，可以考虑两边同时除以anan?1，转化为

nnnqp??1的anan?1形式，进而可设bn?1，递推公式变为qbn?pbn?1?1，转变为上面的类型求解 an例：已知在数列?an?中，an?0,a1?2，且an?1?an?2an?1an 解：an?1?an?2an?1an?11???2 an?1an全国重点名校高考数学复习优质100专题汇编

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?111111???2 ????2 ? ????2 anan?1an?1an?2a2a111???2?n?1? ana1?累加可得：

?1115?2?2n??2?2n???2n ana122?an?15?2n2?2

5?4n（4）形如pan?2??p?q?an?1?qan?k，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：p?an?2?an?1??q?an?1?an??k的形式，将bn?an?1?an，进而可转化为上面所述类型进行求解

例：已知数列?an?中，a1?1,a2?3，且an?2?2an?1?an?4，求an 解：an?2?2an?1?an?4??an?2?an?1???an?1?an??4 设bn?an?1?an，则bn?1?bn?4，且b1?a2?a1?2

??bn?为公差是4的等差数列 ?bn?b1??n?1??4?4n?2 ?an?1?an?4n?2

an?an?1?4?n?1??2

?

a2?a1?4?1?2

?an?a1?4??1?2????n?1????2?n?1?

?4?n?n?1?2?2?n?1??2n2?4n?2

?an?2n2?4n?3

4、题目中出现关于Sn,an的等式：一方面可通过特殊值法（令n?1）求出首项，另一方

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