2008年江苏省高考数学试卷答案与解析

于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要列．

为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数

例如n项数列1，，，…，满足要求．

【点评】本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．

20．（15分）（2008?江苏）已知函数

，

（x∈R，

p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，

（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）； （2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为

（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）

【考点】指数函数综合题．

【专题】计算题；压轴题；分类讨论． 【分析】（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于

，即

对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于

，即|p1﹣

p2|≤log32，

（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度． 【解答】解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于

，即

对所有实数x均成立．（*）

由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|， 故（*）等价于

，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件

（2）分两种情形讨论

（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]） 则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知

，

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再由的单调性可知，

函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度 为

（参见示意图）

（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，则p2﹣p1＞log32，于是 当x≤p1时，有当x≥p2时，有

从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，程

（1）

， ，及

，由方

，从而f（x）=f1（x）；

解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为显然

这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知

综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）

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故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即（2）

故由（1）、（2）得

综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为

．

，得p1+p2=a+b+log32

【点评】考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法． 21．（2008?江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED=EB?EC．

2

【考点】与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．

【分析】根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得． 【解答】证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦， 所以∠CAE=∠CBA．

又因为AD是DBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．

2

又EA=EC?EB，

2

所以ED=EB?EC．

【点评】此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．

22．（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x+y=1在矩阵下得到曲线F，求F的方程．

【考点】圆的标准方程；矩阵变换的性质． 【专题】计算题．

22

对应的变换作用

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【分析】由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简． 【解答】解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，

则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）

则有，即

2

2

，所以

2

2

又因为点P在椭圆上，故4x0+y0=1，从而（x0′）+（y0′）=1

22

所以，曲线F的方程是x+y=1

【点评】本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．

23．（2008?江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆

上的一个动点，

求S=x+y的最大值．

【考点】椭圆的参数方程． 【专题】计算题；转化思想． 【分析】先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．

【解答】解：因椭圆故可设动点P的坐标为因此所以，当

的参数方程为（?为参数）

，其中0≤?＜2π．

时，S取最大值2．

【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

24．（2008?江苏）设a，b，c为正实数，求证：【考点】平均值不等式；不等式的证明． 【专题】证明题．

．

【分析】先根据平均值不等式证明

．

，再证

【解答】证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 ，

即 ，

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