黑龙江省哈尔滨市高三数学二轮复习 专题能力提升训练二 导数及其应用

哈尔滨2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练：导数及其应用

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切, 则a?( )

A．

118 B．

14 C．

2 D． 1

【答案】B

2．设a为实数，函数f(x)=x3?ax2?(a?2)x的导数是f'(x)，且f'(x)是偶函数， 则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )

A．y??2x B．y?3x C．y??3x D．y?4x 【答案】A

3．过点（－1，0）作抛物线y?x2?x?1的切线，则其中一条切线为( )

A．2x?y?2?0 B．3x?y?3?0 C．x?y?1?0 D．3x?y?3?0

【答案】B 4．定积分?ln20exdx的值为( )

A．－1

B．1

C．e2?1

D．e2

【答案】B

5．曲线y＝x3－3x2

＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )

A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 【答案】B

6．如图，阴影部分的面积是( )

A．23

B．2?3

C．

323 D．

353 【答案】C

7．过点(0,1)且与曲线y?x?1x?1在点(3,2)处的切线垂直的直线方程为( )

1

A．2x?y?1?0 B．x?2y?2?0 C．x?2y?2?0 D．2x?y?1?0 【答案】D

8．函数y?cos2x在点(?4,0)处的切线方程是( )

B．4x?2y???0 D．4x?2y???0

A．4x?2y???0 C．4x?2y???0 【答案】D

9．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )

A．3 B． 2 C． 1 D．

【答案】A

10．下列求导运算正确的是( )

1?x21A．()??1?2

xxC．(3)?=3log3e

x

x

B．(log2x)?=

2

1 xln2D． (xcosx)?=－2xsinx

【答案】B

11．设函数f(x)＝x﹣x，则f?(1)的值为( )

3

2

A．－1 【答案】C

B．0 C．1 D．5

?x12．设命题p：曲线y?e在点处的切线方程是：y??ex；命题q:a,b是任意实数，若a?b，（?1，e）则

11，则( ) ?a?1b?1A．“p或q”为真 C．p假q真

B．“p且q”为真

D．p，q均为假命题

【答案】A

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

?13．

?20xsin2dx?____________.

2??2 4【答案】

3214．已知函数f(x)?x?2x?ax?1在区间(?1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是

； 【答案】[–1，7）

2

15．已知函数y?xlnx,则这个函数在点x?1处的切线方程为 。 【答案】x?y?1?0

16．曲线C:f(x)?ex?sinx?1在x?0处的切线方程为____________

【答案】2x-y+2=0

三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．一出租车每小时耗油的费用与其车速的立方成正比，当车速为80km/h时，该车耗油的费用为8元/h,

其他费用为12元/h.；甲乙两地的公路里程为160km，在不考虑其他因素的前提下，为了使该车开往

乙地的总费用最低，该车的车速应当确定为多少公里/小时？ 【答案】设这辆出租车得车速为vkm/h，耗油的费用为A元/h 由甲地开往乙地需要得时间为th,总费用为B元 依题意，得A?kv v?80时， A?8 tv?160 B?(A?12)t

3v3160B?(?12)?64000v 由此可得

v21920B??400v 即

v1920v3?1920?200B???2?200v200v2

3 令B??0即 v?1920?200?0 3v?406(km/h) 得

答：为了使这辆出租车由甲地开往乙地得总费用最低，

3 该车得速度应确定为406km/h

18．已知f?x??x?lnx,g?x??lnx,其中x??0,e?(e是自然常数）. x(Ⅰ）求f(x)的单调性和极小值； (Ⅱ）求证：g?x?在?0,e?上单调递增； (Ⅲ）求证：f(x)?g(x)?.

2

11x?1 ?xx//∴当0?x?1时，f(x)?0，此时f(x)单调递减当1?x?e时，f(x)?0，此时f(x)单调递增

【答案】（Ⅰ）?f(x)?x?lnx，f?(x)?1?

3

∴f(x)的极小值为f(1)?1

(Ⅱ）g??x??1?lnxx 当0?x?e时，g??x??0，g?x?在(0,e]上单调递增

(Ⅲ）?f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1，∴ f(x)?0，f(x)min?1

∴gmax?x??12?1e?12?12?12?1?fmin?x? 19．已知函数f(x)?x3?3x，过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线的方程，求切线方程．

【答案】f/(x)?3x2?3，设切点为Q(x0,y0)，

则：

y0?6x?3x2?3x03?3x0?60?2x?x20，即：x?2?3x0?3， 0解得：x0?0或x0?3，

由k?f/(x0)得k??3或24，得：y??3x或y?24x?54 20．已知函数f(x)?mx2?m?22x(m?0)． (1）若f(x)?lnx?m?1在[1，??)上恒成立，求m取值范围；

2n3?3n2(2）证明：2 ln2 + 3 ln3+…+ n lnn??5n12（n?N*）．

【答案】令g(x)?lnx?mx2?m?22x?m?1?0在x?[1,??)上恒成立

g'(x)?1mm?2?(x?1)(mx?m?2)x?2?2x2?2x2 (1) 当?1?2m?1?1时，即m?1时 g'(x)?0在[1,??)恒成立．?g(x)在其上递减． Qgmax?g(1)?0

?原式成立．

当

2m?1?1即0

综上：m?1

(2) 由 (1) 取m=1有lnx?112(x?x)

?xlnx?x2?12令x=n ?nlnn?n2?12

4