高考数学一轮复习第29讲：反函数

高考数学一轮复习第29讲：反函数

高考要求：

1. 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。掌握互为反函数的函数图象间的关系，会利用y?f(x)与y?f?1(x)的性质解决一些问题．

2.不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识，对于给出解析式的函数，会求其反函数．

3. 其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．知识点归纳：

1．反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数；

2．定义域、值域：反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若y?f(x)与y?f?1(x)互为反函数，函数y?f(x)的定义域为A、值域为B，则f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x(x?A)；

3．单调性、图象：互为反函数的两个函数具有相同的单调性，它们的图象关于y?x对称．

4．求反函数的一般方法：

（1）由y?f(x)解出x?f?1(y)，（2）将x?f?1(y)中的x,y互换位置，得

y?f?1(x)，（3）求y?f(x)的值域得y?f?1(x)的定义域．题型讲解：

例1 求下列函数的反函数：

2x2?1(0?x?1)（1）f(x)?x?x(x??1)；（2）f(x)?{2；

x(?1?x?0)（3）y?x3?3x2?3x?1．

第 1 页 共 6 页

11解：（1）由y?x2?x(x??1)得y2?(x?)2?(x??1)，

24∴x?11??y2?(y?0)，2411∴所求函数的反函数为y???x2?(x?0)．

24（2）当0?x?1时，得x?y?1(?1?y?0)，当?1?x?0时，得x??y(0?y?1)，

∴所求函数的反函数为y????x?1(?1?x?0)???x(0?x?1)．

（3）由y?x3?3x2?3x?1得y?(x?1)3?2，∴x?1?3y?2(y?R)，∴所求反函数为f?1(x)?1?3x?2(x?R)．例2函数y?解：由y?1?ax1(x??,x?R)的图象关于y?x对称，求a的值．1?axa1?ax11?y(x??,x?R)得x?(y??1)，1?axaa(y?1)∴f?1(x)?1?x(x??1)，

a(x?1)由题知：f(x)?f?1(x)，

1?x1?ax?，∴a?1．

a(x?1)1?ax例3 若(2,1)既在f(x)?mx?n的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值．

解：∵(2,1)既在f(x)?mx?n的图象上，又在它反函数图象上，??f(1)?2?m??3?m?n?2∴?，∴?，∴?．?f(2)?1?n?7??2m?n?11?2x例4 设函数f(x)?，又函数g(x)与y?f?1(x?1)的图象关于y?x对

1?x称，求g(2)的值．

第 2 页 共 6 页

解法一：由y?∴g(x)与y?1?2x1?x?x1?y得x?，∴f?1(x)?，f?1(x?1)?，1?xx?2x?3y?2?x?x互为反函数，由2?，得g(2)??2．x?3x?3解法二：由y?f?1(x?1)得x?f(y)?1，∴g(x)?f(x)?1，∴g(2)?f(2)?1??2．

a2x?1(a?R)，是R上的奇函数． 例5 已知f(x)?x2?1（1）求a的值， （2）求f(x)的反函数，

（3）对任意的k?(0,??)解不等式f?1(x)?log2解：（1）由题知f(0)?0，得a?1，此时

2x?12?x?12x?11?2xf(x)?f(?x)?x??x?x??0， x2?12?12?11?21?x． k即f(x)为奇函数．

2x?121?y(?1?y?1)， ?1?x（2）∵y?x，得2x?1?y2?12?11?x(?1?x?1)． 1?x1?x（3）∵f?1(x)?log2，

k∴f?1(x)?log2?1?x1?x??x?1?k?∴?1?x， k，∴??1?x?1????1?x?1①当0?k?2时，原不等式的解集{x|1?k?x?1}， ②当k?2时，原不等式的解集{x|?1?x?1}．

例6 已知函数f(x)?3x?1的反函数y?f?1(x)，g(x)?log9(3x?1) （１）若f?1(x)?g(x)，求x的取值范围D；

第 3 页 共 6 页

（２）设函数H(x)?g(x)?f?1(x)，当x?D时，求H(x)的值域． 解：∵ f(x)?3x?1，∴ f?1(x)?log3(x?1)． （１）∵f?1(x)?g(x) 即log3(x?1)?log9(3x?1)． ∴log9(x?1)2?log9(3x?1)，

?(x?1)2?3x?1, ∴? 解之得0?x?1，

x?1?0.?12 ∴x?D??0,1?．

1（２）∵ H(x)?g(x)?f?1(x)?log9(3x?1)?log3(x?1)

212 ?log9(3x?1)?log9(x?1)?log93x?1． x??0,1? x?1令t?3x?12?3? ，显然在[0，1]递增，则有1?t?2． x?1x?1∴0?H(x)?log92，即H(x)的值域为{y0?y?log92}．

第 4 页 共 6 页