内蒙古呼伦贝尔市莫旗一中2019-2020学年高二下学期4月月考数学(理科)试卷Word版含解析

【解答】解：（1）=（2x﹣x2）|

=（2﹣x）dx+（x﹣2）dx

+（x2﹣2x）|=（4﹣2）﹣（2﹣）+（﹣6）﹣（2﹣4）=1；

（2）复数Z1=a+2i（a∈R），Z2=3﹣4i（i为虚数单位） ∴

=

=

=

，

∵为纯虚数，

∴3a﹣8=0， 即a=， ∴|Z1|=

18．设函数f（x）=ln（2x+3）+x2 （1）讨论函数f（x）的单调性． （2）求f（x）在区间

上的最大值和最小值．

=

．

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）先求函数的导函数，然后求出f'（x）＞0时x的范围；并且求出f'（x）＜0时x的范围，进而解决单调性问题，注意定义域； （2）分别求f（x）在区间大值和最小值．

【解答】解：（1）由题意可得：f′（x）=所以当﹣＜x＜﹣1时，f'（x）＞0； 当﹣1＜x＜﹣时，f'（x）＜0； 当x＞﹣时，f'（x）＞0．

从而，f（x）分别在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）单调增加，在区间（﹣1，﹣）单调递减．

+2x=

=

．

上的极值和区间端点的函数，进行比较可得函数的最

（2）有（1）可知函数在x=﹣处取极值 而f（﹣）=ln+∴f（x）在区间

19．设函数f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1） （1）求函数f（x）的单调区间和极值；

（2）当x=时，f（x）有极小值，求a，b的值．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）对f（x）求导，利用导数来判断f（x）的增减性，并求出极值； （2）由（1）的结论，求出a、b的值．

【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x3+2ax2﹣3a2x+b（0＜a＜1），

∴f′（x）=﹣x2+4ax﹣3a2，令f′（x）=0，解得x=a或x=3a，列表如下：

x

f′（x）

，f（﹣1）=1，f（﹣）=ln2+，f（）=ln+

上的最大值为ln+

，最小值为ln2+．

（﹣∞，a）

﹣ 递减

a 0 ﹣a3+b

（a，3a） 3a

+ 递增

0 b

（3a，+∞）

﹣ 递减

f（x）

由表可知：当x∈（﹣∞，a）时，函数f（x）为减函数， 当x∈（3a，+∞）时，函数f（x）也为减函数， 当x∈（a，3a）时，函数f（x）为增函数；

∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，a），（3a，+∞），单调增区间为（a，3a）； 当x=a时，f（x）的极小值为﹣a3+b， 当x=3a时，f（x）的极大值为b； （2）当x=时，f（x）有极小值， 根据（1）得，a=，且﹣a3+b=， 即﹣×

+b=，解得b=；

综上，a=，b=．

20．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣x+x2（k≥0）．

（Ⅰ）当k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）求f（x）的单调区间．

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，然后求出切点坐标，再用点斜式写出直线方程，最后化简成一般式即可；

（II）先求出导函数f'（x），讨论k=0，0＜k＜1，k=1，k＞1四种情形，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可． 【解答】解：（I）当K=2时，由于

所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为

．即3x﹣2y+2ln2﹣3=0

（II）f'（x）=当k=0时，

﹣1+kx（x＞﹣1）

因此在区间（﹣1，0）上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0； 所以f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），单调递减区间为（0，+∞）； 当0＜k＜1时，

因此，在区间（﹣1，0）和0；

即函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，0）和当k=1时，当k＞1时，由因此，在区间

，单调递减区间为（0，

）；

，得

；

上，f'（x）＜

上，f'（x）＞0；在区间

．f（x）的递增区间为（﹣1，+∞）

，得

和（0，+∞）上，f'（x）＞0，在区间

；

上，f'（x）＜0；

．

即函数f（x）的单调递增区间为

和（0，+∞），单调递减区间为

21．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx（a＜0）．

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）若对任意x1，x2∈（0，1]，且x1≠x2，都有取值范围．

【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．

【分析】（1）求出函数的导数，根据a的范围，求出导函数的符号，从而求出函数的单调区间，

，求实数a的

（2）将问题转化为x2﹣ax﹣4≤0在x∈（0，1]时恒成立，而函数y=x﹣在区间（0，1]上是增函数，所以y=x﹣的最大值为﹣3，从而求出a的范围．

【解答】解：（1）函数f（x）的定义域（0，+∞），f′（x）=1﹣=

，

当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，此时，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数； （2）当a＜0时，函数f（x）在（0，1]上是增函数， 又函数y=在（0，1]上是减函数，不妨设0＜x1＜x2≤1， 则|f（x1）﹣f（x2）|=f（x2）﹣f（x1），|所以|f（x1）﹣f（x2）|＜4|即f（x2）+

＜f（x1）+

﹣，

﹣

|=

﹣

，

﹣

，

|等价于f（x2）﹣f（x1）＜

设h（x）=f（x）+=x﹣1﹣alnx+， 则|f（x1）﹣f（x2）|＜4|于是h′（x）=1﹣﹣

=﹣

|等价于函数h（x）在区间（0，1]上是减函数． ≤0即x2﹣ax﹣4≤0在x∈（0，1]时恒成立，

从而a≥x﹣在x∈（0，1]上恒成立， 而函数y=x﹣在区间（0，1]上是增函数， 所以y=x﹣的最大值为﹣3．

于是a≥﹣3，又a＜0，所以a∈[﹣3，0）．

22．已知函数f（x）=xeax+lnx﹣e（a∈R），设g（x）=lnx+﹣e，若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个交点，求实数a的取值范围．