湖南长沙市师大附中博才实验中学2018—2019学年八年级第二学期期末考试数学试卷 含解析

湖南长沙市师大附中博才实验中学2018—2019学年八年级第二学期期末考试数学试卷 含

解析

∵AB＝BD，点M为AF中点， ∴BM＝DF．

同理可得：CF＝CG，ME＝AG． 在△ACG与△DCF中，

∴△ACG≌△DCF（SAS）， ∴DF＝AG， ∴BM＝ME．

25．已知关于x的方程x﹣kx+k+n＝0有两个不相等的实数根x1、x2，且（2x1+x2）﹣8（2x1+x2）+15＝0．

（1）求证：n＜0；

（2）试用k的代数式表示x1； （3）当n＝﹣3时，求k的值．

【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立关于n，k的不等式，结合不等式的性质，证出结论；

（2）根据根与系数的关系，把x1+x2＝k代入已知条件（2x1+x2）﹣8（2x1+x2）+15＝0，即可用k的代数式表示x1；

（3）首先由（1）知n＜﹣k，又n＝﹣3，求出k的范围．再把（2）中求得的关系式代入原方程，即可求出k的值．

【解答】证明：（1）∵关于x的方程x﹣kx+k+n＝0有两个不相等的实数根， ∴△＝k﹣4（k+n）＝﹣3k﹣4n＞0， ∴n＜﹣k． 又﹣k≤0， ∴n＜0．

解：（2）∵（2x1+x2）﹣8（2x1+x2）+15＝0，x1+x2＝k， ∴（x1+x1+x2）﹣8（x1+x1+x2）+15＝0

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

21 / 25

湖南长沙市师大附中博才实验中学2018—2019学年八年级第二学期期末考试数学试卷 含

解析

∴（x1+k）﹣8（x1+k）+15＝0 ∴[（x1+k）﹣3][（x1+k）﹣5]＝0 ∴x1+k＝3或x1+k＝5， ∴x1＝3﹣k或x1＝5﹣k．

（3）∵n＜﹣k，n＝﹣3， ∴k＜4，即：﹣2＜k＜2． 原方程化为：x﹣kx+k﹣3＝0， 把x1＝3﹣k代入，得到k﹣3k+2＝0， 解得k1＝1，k2＝2（不合题意），

把x2＝5﹣k代入，得到3k﹣15k+22＝0，△＝﹣39＜0，所以此时k不存在． ∴k＝1．

26．图1，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），顶点为D（1，﹣4），点P为y轴上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BDP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点

在抛物线上，求

的最小值．

22

2

2

2

2

2

【分析】（1）由已知抛物线顶点D可设抛物线顶点式，再把点A代入即求得二次项系数a的值．

（2）由点B、D坐标可求BD的长．设点P坐标为（0，t），用t表示BP，DP．对BP＝

2

2

BD、DP＝BD、BP＝DP三种情况进行分类讨论计算，解方程求得t的值并讨论是否合理．

22 / 25

湖南长沙市师大附中博才实验中学2018—2019学年八年级第二学期期末考试数学试卷 含

解析

（3）由点B、C坐标可得∠BCO＝45°，所以过点P作BC垂线段PQ即构造出等腰直角△

PQC，可得PQ＝PC，故有MP+PC＝MP+PQ．过点M作BC的垂线段MH，根据垂线段

PC＝MP+PQ＝MH最小，即需求MH最短性质，可知当点M、P、Q在同一直线上时，MP+

的长．连接MB、MC构造△BCM，利用y轴分成△BCD与△CDM求面积和即得到△BCM面积，再由S△BCM＝BC?MH即求得MH的长．

【解答】解：（1）∵抛物线顶点为D（1，﹣4） ∴设顶点式为y＝a（x﹣1）﹣4 ∵A（﹣1，0）在抛物线上 ∴4a﹣4＝0，解得：a＝1

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）﹣4＝x﹣2x﹣3

（2）在y轴的负半轴上存在点P，使△BDP是等腰三角形． ∵B（3，0），D（1，﹣4） ∴BD＝（3﹣1）+（0+4）＝20

设y轴负半轴的点P坐标为（0，t）（t＜0） ∴BP＝3+t，DP＝1+（t+4） ①若BP＝BD，则9+t＝20 解得：t1＝

（舍去），t2＝﹣

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

②若DP＝BD，则1+（t+4）＝20 解得：t1＝

（舍去），t2＝﹣

2

2

﹣4

③若BP＝DP，则9+t＝1+（t+4） 解得：t＝﹣1

综上所述，点P坐标为（0，﹣

（3）连接MC、MB，MB交y轴于点D，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MH⊥BC于点H ∵x＝0时，y＝x﹣2x﹣3＝﹣3 ∴C（0．﹣3）

∵B（3，0），∠BOC＝90° ∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3

23 / 25

2

）或（0，﹣﹣4）或（0，﹣1）

湖南长沙市师大附中博才实验中学2018—2019学年八年级第二学期期末考试数学试卷 含

解析

∵∠PQC＝90°

∴Rt△PQC中，sin∠BCO＝∴PQ＝∴MP+

＝

PC PC＝MP+PQ

∵MH⊥BC于点H

∴当点M、P、Q在同一直线上时，MP+∵M（﹣，m）在抛物线上

∴m＝（﹣）﹣2×（﹣）﹣3＝ ∴M（﹣，）

设直线MB解析式为y＝kx+b

2

PC＝MP+PQ＝MH最小

∴ 解得：

∴直线MB：y＝﹣x+ ∴MB与y轴交点D（0，） ∴CD＝﹣（﹣3）＝

∴S△BCM＝S△BCD+S△CDM＝CD?BO+CD?|xM|＝CD?（xB﹣xM）＝××（3+）＝∵S△BCM＝BC?MH

∴MH＝∴MP+

PC的最小值为

24 / 25