高考数学（理）二轮专题练习[专题2](2)函数的应用（含答案）

1

当0

xx11

∴t＝2＝∈(0，]，

12x＋1

x＋x1

即t的取值范围是[0，]．

2

12

(2)当a∈[0，]时，记g(t)＝|t－a|＋2a＋，

23

?

则g(t)＝?21

t＋a＋，a

2

－t＋3a＋，0≤t≤a，

3

1

∵g(t)在[0，a]上单调递减，在(a，]上单调递增，

2217

且g(0)＝3a＋，g()＝a＋，

32611

g(0)－g()＝2(a－)．

24

?故M(a)＝?11

g?0?，

11g??，0≤a≤，24

?

即M(a)＝?211

3a＋，

71a＋，0≤a≤，64

17

当0≤a≤时，M(a)＝a＋<2显然成立；

46

?由?11

2

3a＋≤2，

3

14得

4

∴当且仅当0≤a≤时，M(a)≤2.

9

441

故当0≤a≤时不超标，当

992

思维升华 (1)关于解决函数的实际应用问题，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去． (2)对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法．

已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投

入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)

?

万元，且R(x)＝?1081 000

?x－3x ?x>10?.

21

10.8－x2 ?0

30

(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本) 解 (1)当0

x3

W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝8.1x－－10；

30

1 000

当x>10时，W＝xR(x)－(10＋2.7x)＝98－－2.7x.

3x

?∴W＝?1 000

98－－2.7x ?x>10?.?3x

x3

8.1x－－10 ?0

30

x2

(2)①当0

10得x＝9，且当x∈(0,9)时，W′>0；

当x∈(9,10)时，W′<0，∴当x＝9时，W取得最大值， 13

且Wmax＝8.1×9－·9－10＝38.6.

30②当x>10时，

1 000?W＝98－??3x＋2.7x?≤98－21 000·2.7x＝38， 3x

1 000100

当且仅当＝2.7x，即x＝时，W＝38，

3x9100

故当x＝时，W取最大值38.

9

综合①②知：当x＝9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．

1．函数与方程

(1)函数f(x)有零点?方程f(x)＝0有根?函数f(x)的图象与x轴有交点． (2)函数f(x)的零点存在性定理

如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0.

①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个

单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.

②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f(x)在区间(a，b)内不一定没有零点．

2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题建模求解反馈

??? ?文字语言??数学语言??数学应用??检验作答?

与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.

真题感悟

1??x＋1－3， x∈?－1，0]，

1．(2014·重庆)已知函数f(x)＝?且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]

??x， x∈?0，1]，内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( ) 91

－，－2?∪?0，? A.??4??2?92－，－2?∪?0，? C.??4??3?答案 A

解析 作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2)．

111

－，－2?∪?0，? B.??4??2?112－，－2?∪?0，? D.??4??3?

1

因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，

2可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可

1

与AC重合但不能与x轴重合)，此时0

21??y＝x＋1－3，

点B时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立?得mx2＋(2m＋

??y＝m?x＋1?，9

3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－，可知当y＝m(x＋1)在切线和

4BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，991

此时－

442A.

2．(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )

A．3.50分钟 C．4.00分钟 答案 B

解析 根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程0.7＝9a＋3b＋c，??

组得?0.8＝16a＋4b＋c，

??0.5＝25a＋5b＋c，

B．3.75分钟 D．4.25分钟

???7a＋b＝0.1，

消去c化简得?解得?b＝1.5，

?9a＋b＝－0.3，??

?a＝－0.2，?c＝－2.0.

所以p＝－

115225451151315

0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得

52161654164最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． 押题精练

??x＋1，x≤0，

1．已知函数f(x)＝?则函数y＝f[f(x)＋1]的零点有________个．

??log2x，x>0，

答案 4

解析 当f(x)＝0时，x＝－1或x＝1，故f[f(x)＋1]＝0时，f(x)＋1＝－1或1.当f(x)＋1＝－1，