高考数学（理）二轮专题练习[专题2](2)函数的应用（含答案）

第2讲 函数的应用

考情解读 1.函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择、填空题的形式出现.2.函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题．

1．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点

对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点． (2)函数的零点与方程根的关系

函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． (3)零点存在性定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 注意以下两点：

①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．

(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型

解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.

热点一 函数的零点

2

例1 (1)函数f(x)＝ln(x＋1)－的零点所在的区间是( )

x1

A．(，1)

2

B．(1，e－1)

C．(e－1,2) D．(2，e)

1

?cos πx，x∈[0，2]，

(2)(2014·辽宁)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝?1

2x－1，x∈?，＋∞?，?2

1

－1)≤的解集为( )

21247A．[，]∪[，]

43341347C．[，]∪[，]

3434

3112

B．[－，－]∪[，]

43433113D．[－，－]∪[，]

4334

则不等式f(x

思维升华 (1)根据二分法原理，逐个判断；(2)画出函数图象，利用数形结合思想解决． 答案 (1)C (2)A

132

解析 (1)因为f()＝ln－4<0，f(1)＝ln 2－2<0，f(e－1)＝1－<0，f(2)＝ln 3－1>0，故零

22e－1点在区间(e－1,2)内．

(2)先画出y轴右边的图象，如图所示．

1

∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称，∴可画出y轴左边的图象，再画直线y＝.设与曲线交

2于点A，B，C，D，先分别求出A，B两点的横坐标． 11

令cos πx＝，∵x∈[0，]，

22π1

∴πx＝，∴x＝.

33

1313令2x－1＝，∴x＝，∴xA＝，xB＝.

2434

131

根据对称性可知直线y＝与曲线另外两个交点的横坐标为xC＝－，xD＝－. 24311

∵f(x－1)≤，则在直线y＝上及其下方的图象满足，

221331

∴≤x－1≤或－≤x－1≤－， 34434712∴≤x≤或≤x≤. 3443

思维升华 函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；

②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．

1

(1)已知函数f(x)＝()x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数是( )

4

A．1 C．3

2

B．2 D．4

(2)已知a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，若0

1

解析 (1)f(x)在[0,2π]上的零点个数就是函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点个数，

41

而函数y＝()x和y＝cos x的图象在[0,2π]上的交点有3个，故选C.

4

(2)∵f(x)＝2x－log1x在(0，＋∞)上是增函数，又a是函数f(x)＝2x－log1x的零点，即f(a)＝0，

2

2

B．f(x0)>0

D．f(x0)的符号不确定

∴当0

热点二 函数的零点与参数的范围

??b，a－b≥1，

例2 对任意实数a，b定义运算“?”：a?b＝?设f(x)＝(x2－1)?(4＋x)，若

??a，a－b<1.

函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是( ) A．(－2,1) C．[－2,0)

B．[0,1] D．[－2,1)

思维启迪 先确定函数f(x)的解析式，再利用数形结合思想求k的范围． 答案 D

解析 解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤－2或x≥3，

??x＋4，x∈?－∞，－2]∪[3，＋∞?，

所以，f(x)＝?2

?x－1，x∈?－2，3?.?

函数y＝f(x)＋k的图象与x轴恰有三个不同交点转化为函数y＝f(x)的图象和直线y＝－k恰有三个不同交点．

如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.

思维升华 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．

定义在R上的函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，若方程

3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0恰有6个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 1

答案 a<－

2

解析 ∵函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)的单调增区间为(－1,1)，∴－1和1是f′(x)＝0的根， ∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，

?∴?c

?－1?×1＝?3a

2b?－1?＋1＝－3a

，∴b＝0，c＝－3a，

∴f(x)＝ax3－3ax， ∵3a(f(x))2＋2bf(x)＋c＝0，

∴3a(f(x))2－3a＝0，∴f2(x)＝1，∴f(x)＝±1，

???f?1?>1?a－3a>11?∴，即?，∴a<－. 2?f?－1?<－1???－a＋3a<－1

热点三 函数的实际应用问题

例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合x2

放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|2－a|＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气

3x＋11

象有关的参数，且a∈[0，]，若用每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作

2M(a)．

x

(1)令t＝2，x∈[0,24]，求t的取值范围；

x＋1

(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

思维启迪 (1)分x＝0和x≠0两种情况，当x≠0时变形使用基本不等式求解．

2

(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋，再把函数g(t)写成分段函数后求M(a)．

3解 (1)当x＝0时，t＝0；