2015-2019年北京市五年高考理科数学试题汇总(2015、2016、2017、2018、2019)

∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则

，即M为PB的中点；

（2）解：取AD中点G， ∵PA=PD，∴PG⊥AD，

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，

由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．

以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=

，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，

），

．

，

，取z=

，得． ．

．

），C（2，4，0），B（﹣

2，4，0），M（﹣1，2，

，

设平面PBD的一个法向量为则由

，得

取平面PAD的一个法向量为∴cos＜

＞=

=

∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°； （3）解：

，平面BDP的一个法向量为

＞|=|

． |=|

|=

．

∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜

【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题．

17．（13分）为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．

（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（2）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）；

（3）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小．（只需写出结论）

【分析】（1）由图求出在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，由此能求出从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率．

（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大． 【解答】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60， 则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： p=

=

．

（2）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，

可知在四人中随机选项出的2人中指标x的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，

P（ξ=0）=，

P（ξ=1）=P（ξ=2）=

=， =，

∴ξ的分布列如下：

ξ P

E（ξ）=

0

1

2

=1．

（3）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．

18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点． （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点．

【分析】（1）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；

（2）设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2=

，x1x2=

，根据中点的定义即可证明．

【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1）， ∴1=2p， 解得p=， ∴y2=x，

∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣， （2）证明：设过点（0，）的直线方程为 y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2）， ∴直线OP为y=x，直线ON为：y=

x，

由题意知A（x1，x1），B（x1，），

由

，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，

∴x1+x2=，x1x2=

∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）?2x1=2x1，

∴A为线段BM的中点．

【点评】本题考查了抛物线的简单性质，以及直线和抛物线的关系，灵活利用韦达定理和中点的定义，属于中档题．

19．（13分）已知函数f（x）=excosx﹣x．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，

]上的最大值和最小值．

【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；