(完整word版)广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟理科数学试卷

19.解：（1）设P(x,y)，则有F1P?(x?c,y)，F2P?(x?c,y)-------------1分

a2?122PF1?PF2?x?y?c?x?1?c,x???a,a? -----------------2分 2auuuruuur由PF1?PF2最小值为0得1?c2?0?c?1?a2?2，-------------------3分

222x2∴椭圆C的方程为?y2?1．---------------------------------------------4分

2（2）①当直线l1,l2斜率存在时，设其方程为y?kx?m,y?kx?n--------------------5分 把l1的方程代入椭圆方程得(1?2k)x?4mkx?2m?2?0

∵直线l1与椭圆C相切，∴??16km?4(1?2k)(2m?2)?0，化简得

2222222m2?1?2k2-------------------------------------------------------------------------------------7分

同理，n2?1?2k2-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴m2?n2，若m?n，则l1,l2重合，不合题意，∴m??n-----------------------9分 设在x轴上存在点B(t,0)，点B到直线l1,l2的距离之积为1，则

|kt?m||kt?m|??1，即|k2t2?m2|?k2?1，--------------------------------------10分 k2?1k2?1把1?2k2?m2代入并去绝对值整理，

k2(t2?3)?2或者k2(t2?1)?0

前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k?R恒成立

则t2?1?0，解得t??1；----------------------------------------------------------------------12分 ②当直线l1,l2斜率不存在时，其方程为x?2和x??2，---------------------------13分

定点(?1,0)到直线l1,l2的距离之积为(2?1)(2?1)?1； 定点(1,0)到直线l1,l2的距离之积为(2?1)(2?1)?1；

综上所述，满足题意的定点B为(?1,0)或(1,0) --------------------------------------------14分 20．解：（1）当??1时，an?1?f(an)?an11，两边取倒数，得??1，----2分 1?anan?1an故数列{11}是以?2为首项，为公差的等差数列， ana111，n?N*．------------------------------------------------------------4分 ?n?1，an?n?1an（2）证法1：由（1）知an?1，故对k?1,2,3... n?1akak?1ak?2?1111?[?]-------------6分

(k?1)(k?2)(k?3)2(k?1)(k?2)(k?2)(k?3)∴a1a2a3?a2a3a4?......?anan?1an?2

1111111?[(?)?(?)?...??] 22?33?43?44?5(n?1)?(n?2)(n?2)(n?3)111n(n?5)．----------------------------------------9分． ?[?]?22?3(n?2)(n?3)12(n?2)(n?3)[证法2：①当n=1时，等式左边?1?(1?5)111，等式右边?，??2?3?42412?(1?2)?(1?3)24左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当n?k(k?1)时等式成立，

即a1a2a3?a2a3a4?......?akak?1ak?2?则当n?k?1时

k(k?5)，

12(k?2)(k?3)a1a2a3?a2a3a4?......?akak?1ak?2?ak?1ak?2ak?3?k(k?5)1?12(k?2)(k?3)(k?2)(k?3)(k?4)k(k?5)(k?4)?12k3?9k2?20k?12??12(k?2)(k?3)(k?4)12(k?2)(k?3)(k?4)k2(k?1)?4(k?1)(2k?3)(k?1)(k?2)(k?6)(k?1)[(k?1)?5]???

12(k?2)(k?3)(k?4)12(k?2)(k?3)(k?4)12[(k?1)?2][(k?1)?3]这就是说当n?k?1时，等式成立，-------------------------------------------------------8分 综①②知对于?n?N*有：a1a2a3?a2a3a4?......?anan?1an?2?分]

（3）当??2时，an?1?f(an)?n(n?5)．----9

12(n?2)(n?3)2an 21?an则an?1?an?2an1?an，---------------------------------------------10分 ?a?a(1?a)nnn221?an1?an∵0?an?1， ∴an?1?an?an(1?an)1?anan?1?an21?an--------------------------------11分 ?()?221?an21?an?1?an1 ?4(1?an)2?2(an?1)?22?1．--------------------13分 8?1111????24a?1??2422?2nan?1∵an?1?an与an?1?2不能同时成立，∴上式“=”不成立， an?12?1．-----------------------------------------------------------14分 82an， 21?an即对?n?N*，an?1?an?【证法二：当??2时，an?1?f(an)?32anan?an?an?则an?1?an?----------------------------------------------------10分 221?an1?ana2又Qan?(0,1),?n?1??1, 2an1?an1?an?1?an,?an?[,1),n?N*------------------------------------------------------------------11分

2?x4?4x2?1x?x31,------------------------------------12分 ,x?[,1),则g?(x)?令g(x)?21?x2(1?x2)211当x?[,1),g?(x)?0,所以函数g(x)在[,1)单调递减，故当

22113?()122?3?2?1,所以命题得证--------------------------------14分】 x?[,1),g(x)?1281?()21022an【证法三：当??2时，an?1?f(an)?，21?ana21Qan?(0,1),?n?1??1,?a?a,?a?[,1),n?N*-------------------------11分 n?1nn2an1?an22an2an?11?anan?1an?1?an???2?(an?an?1) 22221?an1?an?1(1?an)(1?an?1)111??2422?2?(an?an?1)?(an?an?1)?an?an?1

1125(1?2)(1?2)22 ?数列{an?1?an}单调递减，

12?2?1?3?2?1， ?an?1?an?a2?a1?181?()22102所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】

1?2ax?b x由函数g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得：g'(1)?1?2a?b?0 ∴b??2a?1-------------------------------------------------------------------------3分

2ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)（2）由（1）得g'(x)?----------------------4分 ?xx∵函数g(x)的定义域为(0,??)

∴当a?0时，2ax?1?0在(0,??)上恒成立，

由g'(x)?0得0?x?1，由g'(x)?0得x?1，

即函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)单调递减；-------------------------------5分

1当a?0时，令g'(x)?0得x?1或x?，

2a1111若即a?时，由g'(x)?0得x?1或0?x?，由g'(x)?0得 ?1，?x?1，2a22a2a11即函数g(x)在(0,)，(1,??)上单调递增，在(,1)单调递减；-----------------6分

2a2a1111若即0?a?时，由g'(x)?0得x?或0?x?1，由g'(x)?0得1?x?， ?1，2a22a2a11即函数g(x)在(0,1)，(,??)上单调递增，在(1,)单调递减；------------7分

2a2a11若?1，即a?时，在(0,??)上恒有g'(x)?0， 2a2即函数g(x)在(0,??)上单调递增，------------------------------------------------------------------8分

综上得：当a?0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)单调递减；

111当0?a?时，函数g(x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减；在(,??)上单

22a2a21．解：（1）依题意得g(x)?lnx?ax?bx，则g'(x)?2调递增；

1时，函数g(x)在(0,??)上单调递增， 2111当a?时，函数g(x)在(0,)上单调递增，在( ,1)单调递减；在(1,??)上单调递增．

22a2a当a?-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9

分

（3）证法一：由（2）知当a?1时，函数g(x)?lnx?x?3x在(1,??)单调递增，

2?lnx?x2?3x?g(1)??2，即lnx??x2?3x?2??(x?1)(x?2)，------------11分