2019年最新中考数学真题解析汇编：图形的相似与位似

数学试卷

∴解得；t=

． ．

③若QC=QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示． 同理可得：t=

．

秒或

秒时，△CPQ为等腰三角形．

综上所述：当t为2.4秒或

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，具有一定的综合性，而利用等腰三角形的三线合一巧妙地将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键．

8. （2019?湖北黄石,第24题9分）AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）． （1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA；

数学试卷

（2）如图2，证明： +=2； （3）如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：是否成立？并说明理由．

+

=

第3题图

考点： 相似形综合题．

分析： （1）利用“两角法”证得两个三角形相似；

（2）如图1，过点C作CF∥AB交MN于点F，构建相似三角形：△CFN∽△AMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得例的性质和相关线段的代入得到（3）猜想：

+

．通过证△CFD≌△BMD得到BM=CF，利用比

，即

；

= 成立．需要分类讨论：①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，

，易求

，

，

交AC的延长线于N．由平行线截线段成比例得到利用（2）的结果可以求得

；

②如图丙，当过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得

．

解答： （1）证明：如图1，在△AMD中，∠MAD=30°，

∠MDA=60° ∴∠AMD=90°

在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°， ∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA， ∴△AMN∽△DMA；

（2）证明：如图甲，过点C作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN

数学试卷

∴

．

易证△CFD≌△BMD， ∴BM=CF， ∴∴

（3）猜想：

+

= 成立．理由如下： ， ，即

；

①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N， 则∴即

，

，

由（2）知∴

②如图丙，当过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得

．

数学试卷

点评： 本题考查了相似三角形的综合题型．此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等．此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路．

9．(2019?陕西,第21题8分)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．

①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．

根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？

考点： 相似三角形的应用

分析： 根据题意求出∠BAD=∠BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 解答： 解：由题意得，∠BAD=∠BCE， ∵∠ABD=∠CBE=90°， ∴△BAD∽△BCE， ∴即

==，

解得BD=13.6米．

答：河宽BD是13.6米．

点评： 本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点． 10．(2019?陕西,第24题8分)如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．

（1）求证：AD平分∠BAC；