原子物理学杨福家1-6章 课后习题答案

??????dv = 1

即:

????0?????dv?N2?e??2???2x2adx?e???zc???2y2bdy?e?????2z2cdz

2N2a?e??xadx2b?ea0??ybdy2c?eb0?dz?N28abc?1

c 所以 N?18abcx2a

x

?2y2b (2) 粒子的

2N为:?e02坐标在0?a区域内几率

a?2dx?e????dy?e?????2z2cdz

11?N4abc?e?1?(1?)

2e???1?? (3) 粒子的

y?(?b,b),z?(?c,c)区域内的几率为:

yN2?????e?2x2adx?e?b?b?22bdy?e?c?c?2z2c112dz?N8abc(?1)?(?1)2

ee2 3-10 若一个体系由一个质子和一个电子组成，设它的归一化空间波函数为ψ(x1，y1，z1；x2，y2，z2)，其中足标1，2分别代表质子和电子，试写出：

(1)在同一时刻发现质子处于(1，0，0)处，电子处于(0，1，1)处的几率密度；

(2)发现电子处于(0，0，0)，而不管质子在何处的几率密度； (3)发现两粒子都处于半径为1、中心在坐标原点的球内的几率大小 3-11 对于在阱宽为a的一维无限深阱中运动的粒子，计算在任意本征态ψn中的平均值x及(x?x)，并证明：当n→∞时，上述结果与经典结果相一致．

3-12 求氢原子1s态和2P态径向电荷密度的最大位置． 第三章习题13,14

3-13 设氢原子处在波函数为?(r,?,?)?玻尔半径，试求势能

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1e?ra???a的基态，a1为第一

U(r)??14??er 的平均值．

3-14 证明下列对易关系： ??[y,p]?i? ??[x,py]?0 ??[x,Lx]?0 ??[x,Ly]?i?z ??[px,Lx]?0

???[px,Ly]?i?Pz 第三章习题15解

3-15 设质量为m的粒子在半壁无限高的一维方阱中运动,此方阱的表达式为:

???V(x)=?0?V?0x?00?x?a x?a试求: (1)粒子能级表达式; (2)证明在此阱内至少存在一个束缚态的条件是,阱深V0和阱宽a之间满足关系式:

?2 V0a?

32m2解: (1) 在x<0时,由薛定谔方程可得:

??22? ????V(r)???E?

?2m? 因为 V(x)??? 所以 ?1(x)?0 (1)

0?x?a, V(x)=0,体系满足的薛定谔方程为: ?2d2?2?E?2 (2) ?2mdx2d2?22mEd2?2整理后得:2?2?2?0令k?2mE/? 则: 2?k2?2?0

dx?dx因为?2(0)?0所以波函数的正弦函数:?2?Asin(kx) (3) x>a , V(x)?V0(4)

d2?32m(V0?E)?3?0 令k?2m(V0?E)/? 整理后得: 2?2dx?

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?2d2?3?V0?3?E?3 薛定谔方程为: ?2mdx2d2?3 则: 2?k'2?3?0 方程的解为:?3?Be?k'x (5)

dx?'(a)?'3(a)?'?式中A,B 为待定系数,根据标准化条件的连续性,有2 ?2(a)?3(a)?将(3),(5)式代人得: kctg?k?k' (6) (2):证明: 令 u?ka(7)

同时, u和v 还必须满足下列关系式:

u2?v2?(k2?k'2)a2?2mv0a2/h2 (8) 联立(7) (8)可得粒子的能级的值..

用图解法求解:在以v为纵轴u为横轴的直角坐标系中(7) (8) 两式分别表示超越曲线和圆,其交点即为解.

因k k’ 都不是负数,故u和v 不能取负值,因此只能取第一象限. 由图可知(7) (8)两式至少有一解得条件为:

2mv0a2??22 ? 即 V0a?232m2?v?k'a 则(6)式可改为:uctgu??v

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4-l 一束电子进入1.2T的均匀磁场时，试问电子自旋平行于和反平行于磁场的电子的能量差为多大? 分析要点: ms=1/2,gs=2;

?z??msgs?B???B

??E???B??Bcos?

解：已知：电子自旋磁矩在磁场方向的投影

?z??msgs?B???B

依磁矩与磁场的作用能量 自旋与磁场平行时

E1??s?B??sBcos0???BB

E2??s?B??sBcos180????BB

自旋与磁场反平行时

则

?E?E2?E1?2?BB?2?1.2?0.5788?10?4eV?1.389?10?4eV

4-2 试计算原子处于D3/2状态的磁矩μ及投影μz的可能值． 解：已知：j=3/2, 2s+1=2 s=1/2, l =2

23???631s?l3144g??()??()?? 则 j2222155 j4 依据磁矩计算公式

25?B ?j??j(j?1)gj?B??1526???mg?jjB mjgj??,? 依据磁矩投影公式 z5526 ∴ ?z???B,??B 55

4-3 试证实：原子在6G3／2状态的磁矩等于零，并根据原子矢量模型对这一事实作出解释．

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