2019届江苏省南师附中高三5月模拟考试数学(理)试题(解析版)

则A(0，3)，B(﹣1，0)，C(1，0)

uuuuruuur32 由AM?2MB得M(?，)，设N(n，0)，直线AC为：y??3x?3，设T(t，?3t?3) 33uuuruuur 所以AB?NT?(?1,?3)?(t?n,?3t?3)?2t?n?3， uuuruuur2243)???2t， BC?TM?(2,0)?(??t,3t?333uuuruuuur235)??n? CA?MN?(?1,3)?(n?,?333uuuruuuruuuruuuruuuruuuur45 则AB?NT?BC?TM?CA?MN=2t?n?3??2t?n???6．

33二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角?的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是

10． 10（1）求cos(?﹣

3?)的值； 45，求?＋5（2）若以x轴正半轴为始边的钝角?的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为??的值．

页 5第

解析：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是所以由任意角的三角函数的定义可知sin α＝从而cos α＝1－sin2α＝

310

.(3分) 10

10. 10

10， 10

3π3π3π31021025

(1) cos(α－)＝cos αcos ＋sin αsin ＝×(－)＋×＝－.(6分)

4441021025(2) 因为钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标是－所以cos β＝－

525

，从而sin β＝1－cos2β＝.(8分) 55

105310252

×(－)＋×＝.(10分) 1051052

5

， 5

于是sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝

π3π

因为α为锐角，β为钝角，所以α＋β∈(，)，(12分)

223π

从而α＋β＝.(14分)

416．（本小题满分14分）

如图，己知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝l，M是线段EF的中点．

（1）求证：AM∥平面BDE； （2）求证：AM⊥平面BDF．

解析：证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE， ∵ 四边形ACEF是矩形，∴ EF∥AC，EF＝AC. ∵ O是正方形ABCD对角线的交点， ∴ O是AC的中点．

又点M是EF的中点，∴ EM∥AO，EM＝AO. ∴ 四边形AOEM是平行四边形， ∴ AM∥OE.(4分)

[来源学。科。网]∵ OE平面BDE，AM平面BDE，

∴ AM∥平面BDE.(7分)

(2) ∵ 正方形ABCD，∴ BD⊥AC.

∵ 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，平面ABCD⊥平面ACEF，BD

页

6第

平面ABCD，

∴ BD⊥平面ACEF.(9分) ∵ AM

平面ACEF，∴ BD⊥AM.(10分)

∵ 正方形ABCD，AD＝2，∴ OA＝1.

由(1)可知点M，O分别是EF，AC的中点，且四边形ACEF是矩形． ∵ AF＝1，∴ 四边形AOMF是正方形，(11分) ∴ AM⊥OF.(12分)

又AM⊥BD，且OF∩BD＝O，OF

平面BDF，BD

平面BDF，

∴ AM⊥平面BDF.(14分) 17．（本小题满分14分）

某广告商租用了一块如图所示的半圆形封闭区域用于产品展示，该封闭区域由以O为圆心的半圆及直径AB围成．在此区域内原有一个以OA为直径、C为圆心的半圆形展示区，该广告商欲在此基础上，将其改建成一个凸四边形的展示区COPQ，其中P、Q分別在半圆O与半圆C的圆弧上，且PQ与半圆C相切于点Q．己知AB长为40米，设∠BOP为2?．（上述图形均视作在同一平面内）

（1）记四边形COPQ的周长为f(?)，求f(?)的表达式； （2）要使改建成的展示区COPQ的面积最大，求sin?的值．

π解析：解：(1) 连结PC.由条件得θ∈(0，)．

2

在△POC中，OC＝10，OP＝20，∠POC＝π－2θ，由余弦定理，得 PC2＝OC2＋OP2－2OC·OPcos(π－2θ)＝100(5＋4cos 2θ)．(2分) 因为PQ与半圆C相切于点Q，所以CQ⊥PQ，

所以PQ2＝PC2－CQ2＝400(1＋cos 2θ)，所以PQ＝202cos θ.(4分)

所以四边形COPQ的周长为f(θ)＝CO＋OP＋PQ＋QC＝40＋202cos θ， π

即f(θ)＝40＋202cos θ，θ∈(0，)．(7分)

2(没写定义域，扣2分)

(2) 设四边形COPQ的面积为S(θ)，则

π

S(θ)＝S△OCP＋S△QCP＝100(2cos θ＋2sin θcos θ)，θ∈(0，)．(10分)

2

π

所以S′(θ)＝100(－2sin θ＋2cos2θ－2sin2θ)＝100(－4sin2θ－2sin θ＋2)，θ∈(0，)．(12分)

2令S′(t)＝0，得sin θ＝列表：

sin θ 页

34－2

. 8

(0，34－2) 87第

34－2 8(34－2，1) 8S′(θ) S(θ) ＋ 增 0 最大值 － 减 34－2

.(14分) 8

答：要使改建成的展示区COPQ的面积最大，sin θ的值为18．（本小题满分16分）

x2y2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2?2?1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1，

abF2与椭圆C的上顶点构成边长为2的等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线l与椭圆C相切于点P，且分别与直线x＝﹣4和直线x＝﹣1相交于点M、N．试判断是否为定值，并说明理由．

NF1MF1

解析：解：(1) 依题意，2c＝a＝2，所以c＝1，b＝3， x2y2

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(4分)

43

(2) ① 因为直线l分别与直线x＝－4和直线x＝－1相交， 所以直线l一定存在斜率．(6分) ② 设直线l：y＝kx＋m，

?y＝kx＋m，?由?2得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0. 2??3x＋4y＝12，

由Δ＝(8km)2－4×(4k2＋3)×4(m2－3)＝0， 得4k2＋3－m2＝0 ①.(8分)

把x＝－4代入y＝kx＋m，得M(－4，－4k＋m)，

把x＝－1代入y＝kx＋m，得N(－1，－k＋m)，(10分) 所以NF1＝|－k＋m|，

MF1＝（－4＋1）2＋（－4k＋m）2＝9＋（－4k＋m）2 ②，(12分) 由①式，得3＝m2－4k2 ③，

把③式代入②式，得MF1＝4（k－m）2＝2|－k＋m|，

NF1|k－m|1NF11∴ ＝＝，即为定值.(16分) MF12|k－m|2MF1219．（本小题满分16分）

已知数列?an?满足a1?a2Lan?2页

n(n?1)2(n?N)，数列?bn?的前n项和Sn??n(b1?bn)?(n?N)，且28第