2012年高考真题 - 理科数学（天津卷）

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学 （理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

7?i（1）i是虚数单位，复数=

3?i （A） 2 + i （B）2 – i （C）-2 + i （D）-2 – i

（2）设??R,则“??0”是“f(x)?cos(x??)(x?R)为偶函数”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分与不必要条件 （3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值 为-25时，输出x的值为

（A）-1 （B）1 （C）3 （D）9 （4）函数f(x)?2?x?2在区间(0,1)内的零点个数是 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3

1（5）在(2x2?)5的二项展开式中，x的系数为

x（A）10 （B）-10 （C）40 （D）-40 （6）在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a,b,c， 已知8b=5c，C=2B，则cosC=

77（A） （B）?

2525724 （C）? （D）

2525结 束 x3开 始 输入x 否 |x|>1是 x?|x|?1x = 2x+1 输出x （7）已知?ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足AP??AB，AQ?(1??)AC，

BQ?CP

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3??R，若 ??，则?=

2（A）

11?2 （B） 22 （C）

1?10?3?22 （D） 22（8）设m,n?R，若直线(m?1)x?(n?1)y?2?0与圆(x?1)2?(y?1)2?1相切，则m+n的取值范围是

（A）[1?3,1?3] （B）(??,1?3]?[1?3,??) （C）[2?22,2?22] （D）(??,2?22]?[2?22,??)

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校 对学生进行视力调查，应从小学中抽取_________所 学校，中学中抽取________所学校.

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），

3

则该几何体的体积为_________m.

632正视图3132侧视图3俯视图（11）已知集合A?{x?R|x?2?3},集合B?{x?R|(x?m)(x?2)?0}, 且A?B?(?1,n),则m =__________，n = __________.

?x?2pt2,（12）已知抛物线的参数方程为?（t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线

?y?2pt为l. 过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3， 则p = _________. DC（13）如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作

A圆的切线与AC的延长线相交于点D. 过点C作BD的

平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3， FB3FB=1，EF=，则线段CD的长为____________. E2（14）已知函数y?x2?1x?1的图象与函数y?kx?2的图象恰有两个交点，则实数k

的取值范围是_________.

三．解答题：本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

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（15）（本小题满分13分）

已知函数f(x)?sin(2x??3)?sin(2x??3)?2cos2x?1,x?R.

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数f(x)在区间[???,]上的最大值和最小值.

44 （16）（本小题满分13分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.

（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；

用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记??X?Y，求随机变量?的分布列与数学期望E?.

（17）（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD， AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值； （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面 直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

（18）（本小题满分13分）

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，且a1?b1?2,a4?b4?27， {bn}是等比数列，

PBACDS4?b4?10.

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记Tn?anb1?an?1b2???a1bn，n?N*，证明Tn?12??2an?10bn（n?N*）.

（19）（本小题满分14分）

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x2y2设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两

ab点，O为坐标原点.

（Ⅰ）若直线AP与BP的斜率之积为?1，求椭圆的离心率； 2（Ⅱ）若|AP|=|OA|，证明直线OP的斜率k满足k?3.

（20）（本小题满分14分）

已知函数f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0，其中a?0. （Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若对任意的x?[0,??),有f(x)≤kx2成立，求实数k的最小值； （Ⅲ）证明?i?1n2?ln(2n?1)?2（n?N*）. 2i?1

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