最新人教版高中数学选修1-1《导数的计算》互动课堂

互动课堂

重难突破

1.几个常用函数的导数

①C′=0（C为常数） ②x′=1 ③（x）′=2x④（

2

111）′=-2 ⑤（x）′= xx2x其中①表明常数函数的导数是0，其几何意义为f?x?=C（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴，其斜率为0.

②表明函数y=x图象上每一点处的切线斜率都为1. ④⑤是两个常用公式，一定要记住结论.

2.基本初等函数的导数公式

以后在解题时，我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表. y?f?x? ①y=C ②y=x ③y=x（x＞0，μ≠0） ④y=ax（a＞0） ⑤y=e ⑥y=logax（a＞0，a≠1,x＞0） ⑦y=lnx ⑧y=sinx xμny??f??x? y′=0 y′=nxn-1，n为自然数 y′=μxμ-1，μ为有理数 y′=axlna y′=ex 1 xlna1y′= xy′=y′=cosx ⑨y=cosx y′=-sinx 其中②是③的特殊情况；⑤是④的特殊情况（a≠e）；⑦是⑥的特殊情况（a=e）. n

值得强调的是：（1）上述公式一定要记熟，记准，并且能准确的应用；（2）y=ax与y=xnn-1

的求导公式易混淆，它们从本质上是不同的，（ax）′=axlna，而（x）′=nx，解题时应分清楚；（3）y=sinx与y=cosx的求导公式，记忆的关键是符号，特别是（cosx）′是-sinx，而不是sinx.

3.导数运算法则

法则1：［f?x?±g?x?］ ′=f??x?±g??x?； 法则2：［Cf?x?］ ′=Cf??x? (C为常数)；

法则3：［f?x?·g?x?］ ′=f??x?·g?x?+ f?x?·g??x?； 法则4：［

f?x?f??x??g?x??f?x??g??x?］ ′=（g?x?≠0）. 2g?x??g?x??其中法则1表明两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差，它可以推

广到多个函数和或差的情况，即

（u1±u2±u3±?±un）′=u1′±u2′±u3′±?±un′.

法则2表明一个常数与一个函数的积的导数等于这个常数乘以这个函数的导数. 法则3表明两个函数积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数.

法则4表明两个函数商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，除以分母的平方.

值得注意的是导数的运算法则是在f?x?、g?x?都有导数的前提下进行的.

4.导数运算的实质及基本步骤

导数运算法则的实质是可把加、减、乘、除的运算转化为导数的加、减、乘运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法.

运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数的基本步骤如下：

（1）分析函数y?f?x?的结构和特征；

（2）选择恰当的求导法则和导数公式求导； （3）整理得结果. 特别提示：（1）对于由常函数、幂函数、正弦函数、余弦函数，指数函数、对数函数，利用加、减、乘运算得到的一些简单函数的求导问题，均能利用求导法则和求导公式解答，而不必再回到利用导数定义求解.

对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁索冗长，且易出错.可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转化为易求导的结构形式再求导数.

2

如 (2004全国高考Ⅳ，文4)函数y=(x+1)(x-1)在x=1处的导数等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

22322

首先y=(x+1)(x-1)=(x+2x+1)(x-1)=x+x-x-1，于是y′=3x+2x-1，y′|x=1=3+2-1=4. （2）导数的几何意义就是切线的斜率，所以在前两节中，我们都曾用导数的定义探讨过切线的问题.现在有了求导公式和法则，讨论类似问题显得更方便、简洁和灵活.

由于曲线y=f?x?在点x0处切线的斜率k=f??x0?，则根据点斜式就得到点x0处的切线方程y-y0=f??x0?（x-x0）. 活学巧用

【例1】求下列函数的导数.

2

(1)y=（2x+3）（3x-1）； (2)y=（x-2）；

2

(3)y=x-sin

2

xx·cos； 22(4)y=3x+xcosx;

(5)y=tanx;

x(6)y=e·lnx; (7)y=lgx-

1. x22

2

2

解：(1)方法一：y′=（2x+3）′（3x-1）+（2x+3）（3x-1）′=4x（3x��-1）+3（2x+3）

2

=18x-4x+9.

232

方法二：∵y=（2x+3）（3x-1）=6x-2x+9x-3，

∴y′=（6x-2x+9x-3）′=18x-4x+9. (2)∵y=（x-2）=x-4x+4，

2

322

?1?2∴y′=x′-（4x）′+4′=1-4·x=1-2x2.

211xx1cos=x-sinx， 22211∴y′=x′-（sinx）′=1-cosx.

22(3)∵y=x-sin

(4)y′=(3x+xcosx)′=6x+cosx-xsinx;

2

sinxcos2x?sin2x1?(5)y′=()′=; 22cosxcosxcosxexx(6)y′=+e·lnx;

x(7)y′=

12+3. xln10x

2

【例2】 已知抛物线y=ax+bx+c通过点P(1,1),且在点Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值. 分析：解决问题的关键在于理解题意,转化,沟通条件与结论,将二者统一起来.题中涉及三个未知数,题设中有三个独立条件,因此,通过解方程组来确定参数a,b,c的值是可行的途径.

2

解：∵曲线y=ax+bx+c过P(1,1)点,

∴a+b+c=1. ① ∵y′=2ax+b,∴y′|x=2=4a+b.

∴4a+b=1. ② 又曲线过Q(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1. ③ 联立①②③解得a=3,b=-11,c=9. 点评：利用导数求切线斜率是行之有效的方法,它适用于任何可导函数,解题时要充分运用这一条件,才能使问题迎刃而解. 【例3】 求过曲线y=cosx上点P（

?1，）且与过这点的切线垂直的直线方程. 32分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程. 解：∵y=cosx， ∴y′=-sinx. 曲线在点P（

?1?3，）处的切线斜率是y′|?=-sin=-.

x?323232. 3

∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为

∴所求的直线方程为y-

12?=（x-）， 233即2x-3y-

2?3+=0. 32【例5】 用三块等宽的长方形木板,做成一个断面为梯形的水槽(如下图).问斜角φ为多大

时,水槽的截面积最大?并求出最大截面积.

分析：借助图形的特征,合理选择条件间的联系方式,构造相应的函数关系,通过求导的方法或其他方法求出函数的最大值.

解：设木板的宽为a,水槽的高为h,截面积为S,则S=sinφ,即S=a(1+cosφ)sinφ(0＜φ＜

2

2

2

2

11(a+a+2acosφ)h=(2a+2acosφ)·a 22?). 22

2

2

S′=a［-sinφ+(1+cosφ)cosφ］=a［-(1-cosφ)+cosφ+cosφ］=a(2cosφ-1)(cosφ+1).

令S′=0,得cosφ=故在(0,

1,cosφ=-1(不合题意,舍去). 2??)内,只取φ=. 23?所以φ=时,水槽的截面积最大,

3它的值为S=a(1+cos

2

??332

)·sin=a. 334答：φ为

?332

时,截面积最大,最大截面积为a. 34点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,

找出问题的主要关系,并把问题的关系近似化,形式化,抽象成数学问题,再划归为常规问题,选择合适的数学方法求解.