第一讲 有理数

③(?45.75)?24、有理数的除法

55424?(?35.25)?(?2)?10.5?(?7) ④49?(?5)

25999有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数。这个法则可以把除法转化为乘法；除法法则也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数都等于0。

概念剖析：①除法是乘法的逆运算，用法则“除以一个数，等于乘上这个数的倒数”即可转化，转化后它

满足乘法法则和运算律。

②倒数的求法：求一个整数的倒数，直接可写成这个数分之一，即a的倒数为

1(a?0)；求anm一个真分数和假分数的倒数，只要将分子、分母颠倒一下即可，即的倒数为；求一个带

mn分数的倒数，应先将带分数化为假分数，再求其倒数；求一个小数的倒数，应先将小数化为分数，再求其倒数。注意：0没有倒数。

例25 倒数是其本身的数有_________； 例26 计算下列各式： ①?2.5?111?(?8) ②(?5)?7 ③(?48)?(?6) 825、有理数的乘方

（1）有理数的乘方的定义：求几个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“a”其中a叫做底数，表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，它所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂。

（2）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，?1偶数次幂是1、?1奇数次幂是?1； 概念剖析：①“a” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；

②(?a)nnn??an。因为?an表示n个?a相乘，而(?a)n表示n个a的相反数；

2n③任何数的偶次幂都得非负数，即a3?0。

例27 ①2的意义是_________________________；

②?5的意义是________________________；

465)的意义是_________________________； 7322例28 当a??3，b?时，则a?b?_________；

2③(?例29 计算：(?2)例30 若a,b(aA、a2n2008?(?2)2009

?0,b?0)互为相反数，n是自然数，则（ ）

2n?1和b2n互为相反数 B、a和b2n?1互为相反数

C、a和b互为相反数 D、a和b互为相反数

知识窗口：所有的奇数可以表示为2n?1或2n?1；所有的偶数可以表示为2n。 6、有理数的混合运算

（1）进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。比较复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算。

（2）进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。

知识窗口：有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；

若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。

例31 计算下列各式

22nn?1?1??1?2??1?32①10?????1?1???6 ②??3??2?????4?2????

4?3?3???3??2?例31 已知a的绝对值为3、且a满足x的一元一次方程(a?b)x22?(3?a)x?2?0，则

a3?b2?a的值为多少？ bn7、科学记数法

（1）把一个大于10的数记成a?10的形式，其中a是整数位只有一位的数，这种记数方法叫做科学记数法。

（2）与实际完全符合的数叫做准确数，与准确数接近的数叫做近似数。一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（3）一个数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字，叫做这个数的有效数字。

概念剖析：I 把一个数b用科学记数法表示为a?10，其中1?a①当b?10时，

n?10，n为自然数，

n为这个数b的整数位数减1；例如：用科学记数法表示188000.04得

1.8800004?105，它满足 1?1.8800004?10，5?6?1 （188000.04的整数

部分有6位数）；

②当1?b?10时，n为0；例如：用科学记数法表示1.8800004得1.8800004③当b ?100；

?1时，n为由b变到a的过程中小数点移动位数的相反数；

④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法，那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。 II 在让数字精确和数有效数字时应注意：

①在四舍五入法精确小数时不可轻视，即如果要求将一个小数精确到千分位，而四舍五入所得到的结果千分位为0时，该0不能省略。如：将2.08965601精确到千分位，应为2.090，不应为2.09。其他分位也应注意。

②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止（最末尾一位），所得的数字”； 科学记数法a?10的形式中，效数字只与a有关，而与

n10n无关。

例32 用科学记数法表示下列各数

①1893400000 ②800032000 ③0.000003578012 ④120万人民币； 例33 ①3.256有_________位效数字，它们分别是_________________________；

②0.032560有_________位效数字，它们分别是_________________________； ③3.2560?10有_________位效数字，它们分别是_________________________； ④3.256?10有_________位效数字，它们分别是_________________________；

例34 用四舍五入法完成下列各题 ①0.02954，所得结果有___________位效数字，它们分别是?_________（精确到千分位）

，所得结果有___________位效数字，它们分别是?_________（精确到万分位）

_______________________；

②0.999999_______________________；

③0.93?_________（精确到个位）所得结果有___________位效数字，它们分别是_______________________；

练习： 一、选择题：

1、下列说法正确的是（ ）

A、非负有理数即是正有理数 B、0表示不存在，无实际意义 C、正整数和负整数统称为整数 D、整数和分数统称为有理数 2、下列说法正确的是（ ）

A、互为相反数的两个数一定不相等 B、互为倒数的两个数一定不相等 C、互为相反数的两个数的绝对值相等 D、互为倒数的两个数的绝对值相等 3、绝对值最小的数是（ ）A、1 B、0 C、– 1 D、不存在 4、计算

88??2?4?(?24)所得的结果是（ ）A、0 B、32 C、?32 D、16

5、有理数中倒数等于它本身的数一定是（ ）A、1 B、0 C、–1 D、±1 6、（– 3）–（– 4）+7的计算结果是（ ）A、0 B、8 C、– 14 D、– 8 7、（– 2）的相反数的倒数是（ ）A、8、化简：a9、若

211 B、? C、2 D、– 2 22?4，则a是（ ）A、2 B、– 2 C、2或– 2 D、以上都不对

x?1?y?2，则x?y=（ ）A、– 1 B、1 C、0 D、3

10、有理数a，b如图所示位置，则正确的是（ ）

A、a+b>0 B、ab>0 C、b-a<0 D、|a|>|b| 二、填空题

11、（– 5）+（– 6）=________；（– 5）–（– 6）=_________。 12、（– 5）×（– 6）=_______；（– 5）÷6=___________。

1?1?413、??2?????_________；?2?2?2?24=________。

14、

??3?2?200211?__________；?32??________。 27915、?1?(?1)2003?_________；

16、平方等于64的数是___________；__________的立方等于– 64 17、?5与它的倒数的积为__________。 718、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，则a+b=_______；cd=______；m=__________。 19、如果a的相反数是– 5，则a=_____，|a|=______，|– a– 3|=________。 20、若|a|=4，|b|=6，且ab<0，则|a-b|=__________。 三、计算： （1）?48?8

（3）?3

（5）?32?16?(?2)

四、某工厂计划每天生产彩电100台，但实际上一星期的产量如下所示： 星期 增减/辆 一 –1 二 +3 三 –2 四 +4 五 +7 六 –5 日 –10 322135?(?25)?(?5)2 （2）?3?5?(?2)?

25142?(?3)2?3?(?2) （4）24?8?(?4)?(?)

315???(?6)?(?3) （6）?1.3??5?(?)??

39??比计划的100台多的记为正数，比计划中的100台少的记为负数；请算出本星期的总产量是多少台？本星期那天的产量最多，那一天的产量最少？

五、某工厂在上一星期的星期日生产了100台彩电，下表是本星期的生产情况： 星期 增减/辆 一 –1 二 +3 三 –2 四 +4 五 +7 六 –5 日 –10 比前一天的产量多的计为正数，比前一天产量少的记为负数；请算出本星期最后一天星期日的产量是多少？本星期的总产量是多少？那一天的产量最多？那一天的产量最少？