海南省海口市2021届新高考数学最后模拟卷含解析

x2?2?x1，即证明x1?x2?2，从而证明原不等式成立.

【详解】

（1）函数f?x??e?xk2x 2则f??x??e?kx，

x因为f?x?存在两个极值点x1，x2，

x所以f??x??e?kx?0有两个不等实根.

设g?x??f??x??e?kx，所以g??x??e?k.

xx①当k?0时，g??x??e?k?0，

x所以g?x?在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意. ②当k?0时，令g??x??e?k?0得x?lnk，

xx ???,lnk? ? 减 lnk 0 ?lnk,??? ? 增 g??x? g?x? 极小值 所以g?x?min?g?lnk??k?klnk?0，即k?e. 又因为g?0??1?0，g?k??e?k?0，

k2所以g?x?在区间?0,lnk?和?lnk,k?上各有一个零点，符合题意， 综上，实数k的取值范围为?e,???.

xx（2）证明：由题意知f??x1??e1?kx1?0，f??x2??e2?kx2?0， x所以e1?kx1，e2?kx2.

x要证明

f?x1?f?x2???k， x1x2ex1?k2k2x1ex2?x22?2?2k?k?x?x??k，

12x1x22只需证明

只需证明x1?x2?2.

x因为e1?kx1，e2?kx2，所以

xx1x21??. x1x2eek设h?x??x1?x?hx?，则， ??exex所以h?x?在???,1?上是增函数，在?1,???上是减函数. 因为h?x1??h?x2??1， k不妨设0?x1?1?x2，

设??x??h?x??h?2?x?，0?x?1， 则???x??h??x?+h??2?x??当x??0,1?时，1?x?0，

1?x1?x1??1??1?x????xx2?x2?x?， ee?ee?11?， x2?xee所以???x??0，所以??x?在?0,1?上是增函数， 所以??x????1??0，

所以h?x??h?2?x??0，即h?x??h?2?x?. 因为x1??0,1?，所以h?x1??h?2?x1?， 所以h?x2??h?2?x1?.

因为x2??1,???，2?x1??1,???，且h?x?在?1,???上是减函数， 所以x2?2?x1， 即x1?x2?2， 所以原命题成立，得证. 【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.

22．如图，四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AB?AD，点E在线段AD上，且CE//AB.

（1）求证：CE?平面PAD；

（2）若PA?AB?1，AD?3，CD?【答案】（1）证明见解析（2）【解析】 【分析】

5 52，?CDA?45?，求二面角P?CE?B的正弦值.

（1）要证明CE?平面PAD，只需证明CE?PA，CE?AD，即可求得答案；

（2）先根据已知证明四边形ABCE为矩形，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系A?xyz，求得平面PEC的法向量为n，平面BEC的法向量AP，设二面角P?CE?B的平面

ruuurruuur角为?，cos??|cos?n,AP?|，即可求得答案.

【详解】

（1）QPA?平面ABCD，CE?平面ABCD，

?PA?CE.

QAB?AD，CE∥AB，

?CE?AD.

又QPA?AD?A，

?CE?平面PAD.

（2）由（1）可知CE?AD.

在Rt△ECD中，DE?CD?cos45??1，

CE?CD?sin45??1.

?AE?AD?ED?2.

又QAB?CE?1，AB//CE，

?四边形ABCE为矩形.

以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立坐标系A?xyz， 如图：

则：A(0,0,0)，C(1,2,0)，E(0,2,0)，P(0,0,1)，

uuuruuur?：PC?(1,2,?1)，PE?(0,2,?1)

r设平面PEC的法向量为n?(x,y,z)，

vvuuu?n?PC?0v ?vuuun?PE?0?即??x?2y?z?0，

?2y?z?0令y?1，则z?2，x?0

r?n?(0,1,2)

由题PA?平面ABCD，即平面BEC的法向量为AP?(0,0,1) 由二面角P?CE?B的平面角为锐角， 设二面角P?CE?B的平面角为?

uuurruuur225? 即cos??|cos?n,AP?|?55?sin??1?cos2??5 55?二面角P?CE?B的正弦值为：5.

【点睛】

本题主要考查了求证线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直判断定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.

x2y223．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1?a?b?0?的右焦点为F?4m,0?

ab（m?0，m为常数），离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为?的直线l交椭圆C于M、N两点． ⑴求椭圆C的标准方程； ⑵若??90?时，

1152，求实数m； ??MFNF9⑶试问

11?的值是否与?的大小无关，并证明你的结论． MFNF