2011北约自主招生数学题及解答

2011北约自主招生数学题及解答

?1、已知平行四边形的其中两条边长分别是3和5，一条对角线长是6，求另一条对角线的长。

解：由对角线的平方和等于四边的平方和：所以36+x2=2(9+25)，x2=32，∴x=42。 ?2求过抛物线y=2x2-2x-1，y=-5x2+2x+3交点的直线方程。

解：y=2x2-2x-1y=-5x2+2x+3，5y=10x2-10x-52y=-10x2+4x+6，7y=-6x+1，∴6x+7y-1=0为所求。

?3、等差数列a1,a2,?满足a3=-13，a7=3，这个数列的前n项和为Sn，数列S1,S2,?中哪一项最小，并求出这个最小值。

解：d=a7-a37-3=164=4，∴a1=-21，Sn=2n2-23n，当n=234，即n=6时Sn最小，最小为-66。

?4、?ABC的三边a,b,c满足a+b≥2c，A,B,C为?ABC的内角，求证：C≤60°。 解：ab≤(a+b2)2，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab≥(a+b)2-c2(a+b)22-1=1-2c2(a+b)2≥1-2c24c2=12，

所以C≤60°。

? 5、是否存在四个正实数，它们的两两乘积分别是2,3,5,6,10,16？

解：设存在四个正实数分别为a

?6、C1和C2是平面上两个不重合的固定圆，C是该平面上的一个动圆，C和C1，C2都相切，则C的圆心的轨迹是何种曲线？说明理由。

解：设两定圆⊙C1，⊙C2的半径分别为r1,r2，动圆C的半径为R。 ⑴当r1=r2

①⊙C1与⊙C2相交时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的公共弦； b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|=r1-R，|CC2|=r2+R，|CC1|+|CC2|=r1+r2， 轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。 ②⊙O1与⊙O2外切时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线去掉两圆的切点； b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是直线C1C2，去掉C1、C2和两圆的切点。 ③⊙O1与⊙O2相离时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线； b).⊙C与它两都内切，轨迹是线段C1C2的垂直平分线；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=|CC2|+r2，||CC1|-|CC2||=r1+r2， 轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。 ⑵当r1≠r2，不妨设r1

a).⊙C与它两都外切，|CC1|-r1=|CC2|-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，去掉两圆公共区域的部分；

b).⊙C与它两都内切，|CC1|+r1=|CC2|+r2，或r1-|CC1|=r2-|CC2|轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=r2-|CC2|，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。 ②⊙O1与⊙O2外切时

a).⊙C与它两都外切，|CC1|-r1=|CC2|-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支，去掉两圆的切点；

b).⊙C与它两都内切|CC1|+r1=|CC2|+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=r2-|CC2|，轨迹是直线C1C2，去掉C1、C2和两圆切点。

③⊙O1与⊙O2相离时

a).⊙C与它两都外切，|CC1|-r1=|CC2|-r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C1)的一支；

b).⊙C与它两都内切，|CC1|+r1=|CC2|+r2，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线中(对应焦点C2)的一支；

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，|CC1|-r1=r2-|CC2|，轨迹是以C1、C2为焦点的双曲线。

④⊙O1与⊙O2内切时

a).⊙C与它两都外切，轨迹是射线C2C1在两圆切点以外部分；

b).⊙C与它两都内切，轨迹是以两圆切点为端点，方向是C1C2，去掉C1、C2和两圆切点的射线。

c).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，去掉两圆的切点。 ⑤⊙O1与⊙O2内含时

a).⊙C与它两都内切，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆；

b).⊙C与两圆一个内切，一个外切时，轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆。 ?7、求f(x)=x-1+2x-1+?+|2011x-1|的最小值。

解：f(x)=|x-1|+|x-12|+|x-12|+|x-13|+|x-13|+|x-13|+?+|x-12011|+|x-12011|+? +|x-12011|，一共有1+2+3+?+2011=1006×2011个绝对值，则是偶数个，故中间第

503×2011个和第503×2011+1个之间取得最小值；设第503×2011个绝对值是|x-1n|，∴1+2+3+?+n=n(n+1)2≤503×2011，∴n(n+1)≤1006×2011=2023066，∵2023066≈1422，∵1422×1423=2023506，∴取n=1421。∴第503×2011个和第503×2011+1个绝对值是 |x-11422|，∴fminx=f11422=|11422-1|+|21422-1|+|31422-1|+?+|20111422-1|

=11422(|1-1422|+|2-1422|+|3-1422|+?+|2011-1422|)=11422(1421+1420+1419+? +1+0+1+2+3+?+589)= 11422(1422×14212+590×5892)= 11422(1010331+173755)=592043711。