厦大《高代》讲义第4章+线性映射

线性映射与矩阵_2

线性映射的表示矩阵设V,W是K上线性空间, 分别取V, W的基如下V:?1,?2,?,?n;W:?1,?2,?,?m.假定?(?)?a??a????a?,11111221mm?(?2)?a21?1?a22?2???a2m?m,????(?n)?an1?1?an2?2???anm?m,则称矩阵?a11a21?an1????a12a22?an2???????为???aa?a??nm?m?n?1m2m在?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?m厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cnIP: 59.77.1.116下的表示矩阵.线性映射与矩阵_3

线性映射与表示矩阵的关系取定基以后,数域K上n维向量空间V到m维向量空间W的线性映射集合与数域K上m?n矩阵集合之间存在一个一一对应关系.m?n定理L(V,W)?K设V, W是数域K上的线性空间,?1,?2,?,?n是V的一组基,?1,?2,?,?m是W的一组基.令m?n?:L(V,W)?K??A其中?(?1,?2,?,?n)=(?1,?2,?,?m)A厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cnIP: 59.77.1.116则?是K-线性空间的同构映射.注: 线性映射由基的像的坐标向量确定.线性映射与矩阵_3

推论设V, W分别是K上是n, m维线性空间, 则dimL(V,W)=mn.注设?1,?2,...,?n,?1,?2,...,?m分别是V,W的两组基, ?(?1,?2,...,?n)?(?1,?2,...,?m)A?a1??b1?????对??V,??(?1,...,?n)?,?(?)?(?1,...,?m)??????a??b??n??m??b1??a1?则????A???.?????b??a?厦门大学数学科学学院?m??n?网站:gdjpkc.xmu.edu.cnIP: 59.77.1.116线性映射与矩阵_3

?,??,...,??是V的基, 且命题设?1,?2,...,?n,?12n?,??,...,??)?(?,?,...,?)P(?12n12n?1,??2,...,??m是W的基, 且又设?1,?2,...,?m,??1,??2,...,??m)?(?1,?2,...,?m)Q(?设??L(V,W),?(?1,...,?n)?(?1,...,?m)Am?n则?1????,??,...,??)QAP.?(?,?,...,?)?(?12n12m注1: 线性映射在不同基下的表示矩阵相抵.注2: 两相抵矩阵可视为同一线性映射在不同基下的表示矩阵.厦门大学数学科学学院网站:gdjpkc.xmu.edu.cnIP: 59.77.1.116