双曲线离心率专题训练（尖子生培优）

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除以c2，即可求得离心率．圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主． 15．D 【解析】

试题分析：由题意，F1(?c,0),A(0,3c)，设B(x,y)，则因为AF1?4BF1，所以

33c，代入双曲线方程，化简可得，(?c,?3c)?4(?c?x,?y)，∴x??c,y?449e4?28e2?16?0，∴e?13?1,故选D． 3考点：1.平面向量的运算；2.余弦定理；3.双曲线的几何性质.

【方法点睛】本题主要考查的是双曲线的几何性质，向量知识的运用，计算能力，属于中档

B的坐标，题，分析题目可知，求出F1,A的坐标，设B的坐标，根据AF1?4BF1可得到

再将其代入到双曲线方程中，即可得到一个关于离心率e的一元四次方程，用换元法即可求

出离心率e的值，因此解此类题目，正确的运用向量的坐标关系是解决此类问题的关键. 16．C 【解析】

试题分析：圆x2?y2?6x?2y?9?0的标准方程为?x?3???y?1??1，则圆心为

22x2y2?1，则双曲线的焦点在x轴，则对应M?3，1?，半径R?1，由mx?ny?0得?11?mn22的渐近线为y??2bbx，设双曲线的一条渐近线为y?x，即bx?ay?0，∵一条渐近线aa2与圆?x?3???y?1??1相切，∴即圆心到直线的距离d?3b?aa?b22?1，即3b?a?c，

3a，平4222222平方得a?6ab?9b?c?a?b，即8b?6ab?0，则4b?3a?0，则b?2方得b?92252c5a?c2?a2，即c2?a，则离心率e??，故选：C． 1616a4考点：双曲线的简单性质．

【方法点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据直线和圆相切的等价条件建立方程是解决本题的关键．考查学生的计算能力，难度中档；求出圆的标准方程，根据双曲线中参数范围得到双曲线焦点的位置，利用双曲线的渐近线和圆相切的等价条件圆心到渐近线的距离

222等于圆的半径以及恒等式c?a?b建立方程得到a，b的关系即可得到结论．

17．B 【解析】

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1F2中，由正弦定理得，试题分析：由题意得，在?PFsin?PF2F1PF1??e?2sin?PFFPF122，又因

为

PF1?PF2?2,结合这两个条件得，

PF1?4,PF2?2,由余弦定理可得，

cos?F2F1,F2P??14,F2P?F2F1?2，则综合选B．

考点：1．正弦定理的应用；2．余弦定理的应用；3．双曲线的性质；4．平面向量的数量积． 【思路点晴】本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用，双曲线的性质，平面向量的数量积，属于中档题，本题给的已知条件看似比较抽象，其实画出草图会发现，点P在双

sin?PF2F1PF1曲线的右支上，由?PF转化点，再?1F2中，利用正弦定理可将已知条件

sin?PF1F2PF2结合双曲线的性质，得PF1?PF2?2a，进而可求出PF1,PF2的值，再解这个三角形即可求出所需要求的值，本题中，正确对已知条件18．A 【解析】

试题分析：由条件可得A?a,b?，?OAF的面积为a，所以

2sin?PF2F1?e进行转化是解题的关键．

sin?PF1F2131123bc?a2，解得e?，233故选A.

考点：双曲线，离心率． 19．B 【解析】

试题分析：依题意可知PF2?2c，对于椭圆，离心率e1?2c2cc，??PF1?PF210?2c5?c，

故

对于双曲线，离心率

e2?2c2cc??PF1?PF210?2c5?cc22554c?10,c?e1?e2?1??1?，三角形两边的和大于第三边，故，故

225?c225?c2c2?2575254,25?c2?,?，故选B. 4425?c23考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【思路点晴】本题主要考查椭圆和双曲线的定义，椭圆和双曲线的离心率，平面几何分析方法，值域的求法.由于椭圆和双曲线有公共点，那么公共点既满足椭圆的定义，也满足上曲线的定义，根据已知条件有PF2?2c，利用定义列出两个离心率的表达式，根据题意求

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e1?e2?1的表达式，表达式分母还有二次函数含有参数，根据三角形两边和大于第三边，求

出c的取值范围，进而求得e1?e2?1的取值范围. 20．C. 【解析】

试题分析：如下图所示，连结AF1，由题意得，|F1A|?|F1B|?|F1F2|?2c，

12c|F2A|?|F1B2|?，

33又∵|F1A|?|F2B|?2a，∴2c?2c3c?2a?e??，故选C. 3a2

考点：双曲线的标准方程及其性质.

21．B 【解析】 试

题

分

析

：

由

平

几

知

识

可

得

BD?1?4x?1，所以

e1?122xe?e?e?,e??ee?1121212e1在x??0,1?上单调递1?4x?11?4x?1，因为

25?1+?5t?e1?e2恒成立，得t?5，即te?e?22减，所以1 1?4?1，由不等式

的最大值是5，选B.

考点：椭圆与双曲线离心率

【思路点睛】（1）对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化.（2） 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到

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a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的定义及几何性质、点的坐标的范围等. 22．D 【解析】

x2y2c试题分析：由题意得，当x?，代入双曲线的方程2?2?1?a?0,b?0?，解得

2abc()22y2??1 22abc2?4a22?M?FMF??y??b，设圆与双曲线的交点为，由圆的性质可得，，所12224a2以由勾股定理得MF1?2M2F?24224，整理得c?8ac?4a?0，即1F2F2e4?8e2?4e4?，解得0e2?23?4，即e?3?1，故选D．

考点：双曲线的几何性质．

【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到圆与双曲线的交点，圆的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的推理与运算能力，本题的解答中，代入x?c，求得点M的纵2坐标，利用直角三角形的勾股定理得出关于a,c的方程是解答的关键和难点，属于中档试题． 23．A 【解析】

b2bc试题分析：由题意设直线方程为x?c(c?a?b),?A(c,),B(a,)，因为A为BF的

aa222b2bcc242322222中点，所以2．故选?,?2b?c,?4b?c,?4(c?a)?c,?2?,?e?aaa33A.

考点：双曲线的简单几何性质． 24．C 【解析】

b?y??x?ba?a试题分析：设H在渐近线y??x上，直线FH方程为y?(x?c)，由?，

aab?y?(x?c)?b??a2x???a2ab3a23ab?c?2c,)，因为P在双曲线FH，得P(?得?，即H(?,)，由FP?3cccc?y?ab?c?答案第10页，总17页