双曲线离心率专题训练（尖子生培优）

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QF?(2?m,n)?PF?QF?4?m2?n2?0,?215m??b2n21m2?42?2?2? ?n?1??am155?n2?1??4c21415，故选A． ?2?1??e?15a15又

考点：1、双曲线的标准方程及性质；2、椭圆的标准方程及性质；3、直线与椭圆．

【方法点晴】本题考查双曲线的标准方程及性质、椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．首先利用数形结合思想设

P(m,n),Q(?m,?n)?PF?(2?m,?n),QF?(2?m,n)

?PF?QF?4?m?n?0,22又

m2?n2?15，解方程组得

?215m??b2n21c2?4?2?2??2?1? ?am15a?n2?1??414?e?15． 15157．B 【解析】 试

题分析：设

|BF2|?2|AF1|?2t?|AF2|?t?2a,|BF1|?2t?2a?|AB|?3t?2a?t2?(3t?2a)2? ?(2t?2a)2?t?10a10a4a10a24a2?|AF1|?,|AF2|??()?()?4c2?e?33333173．

考点：直线与双曲线． 8．C 【解析】

试题分析：设AF1?AB?m，则BF1?2m,AF2?m?2a,BF2?2m?2a，因为

m解得4a?2m，所以AB?AF2?BF2?m，所以m?2a?2m?2a?，

答案第3页，总17页

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?2??5?22，在直角三角形AF中，由勾股定理得AF2??1?mF4c??2m，因为?12????2??2???5?4a?2m，所以4c2???2??8a2，所以e2?5?22.

?2?考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方程，从而求出离心率的平方. 9．C 【解析】

试题分析：由于上曲线焦点到渐近线的距离为b，所以AF?b,OA?a，由FB?2FA得

BF?2b，且OA是三角形F1BF的中位线，F1是左焦点，所以BF1?2a，根据双曲线

?b?的定义，有2b?2a?2a,b?2a，所以离心率e?1????5.

?a?考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【思路点晴】本题主要考查双曲线、圆的位置关系，向量运算等知识. 由FB?2FA得

2BF?2b，且OA是三角形F1BF的中位线，再结合中位线和双曲线的定义，可求得a,b的

c?b?数量关系，进而求得双曲线的离心率.双曲线的离心率公式为e??1???，椭圆的离

a?a?c?b?心率公式为e??1???，抛物线的离心率为1.求解时注意不要用错公式.

a?a?10．C

【解析】

试题分析：画出图象如下图所示，由图可知，OE是三角形F1F2P的中位线，根据双曲线的

22?b?e?1?定义有PF，所以?PF?2b?2a?2a,b?2a???5. 12?a?2答案第4页，总17页

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考点：双曲线、圆的位置关系，向量运算．

【思路点晴】本题主要考查双曲线、圆的位置关系，向量运算等知识.圆的半斤为a，直线和圆相切，OE?PF1，由OE?1OF?OP知E为PF1中点，所以可以得到OE是三角2??形F再结合中位线和双曲线的定义，可求得a,b的数量关系，进而求得双曲1F2P的中位线，线的离心率. OE?11．B 【解析】

1OF?OP的几何意义就是三角形的中线. 2??(x?c)2y2c2x?cy,)，∴??试题分析：由题意，设P(x,y)，x??a，∴M(， 224464b222c2c1c?(x?a)2?c2，∵x??a，∴x?a??c?a，即x?2cx?c?2x?b?

aa16a1622∴(c11c44x?a)2?(?c?a)2?c2?(?c?a)2?c?c?a?e??，∴1?e?， a164a33故选B．

考点：双曲线的标准方程及其性质． 12．D 【解析】

?试题分析：作图，∵OA?FA，?AMO?60，OM?OA，∴?AMO为等边三角形，

∴OA?OM?a，在直角三角形OAF中，OF?c，∴该双曲线的离心率

e?cOF1???2． aOAsin30?答案第5页，总17页

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考点：双曲线简单性质． 13．D 【解析】

a2cabcaacb,)，将x?0试题分析：设直线l：y??x?，联立y??x，得P(2bbaa?b2b2?a2代入直线l，得Q(0,ac)，∵AP?AQ，∴由kAP?kAQ??1，可得b2?ac?a2??c2，b代入b2?c2?a2，得2c2?2a2?ac?0，同除以a2得2e2?2?e?0，∴e?1?174或e?1?17（舍去）． 4考点：直线与圆锥曲线的位置关系． 14．C 【解析】

试题分析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，焦距为2c，PF1?m，

PF2?n，且不妨设m?n，由m?n?2a1，m?n?2a2得m?a1?a2，n?a1?a2，又

cos?F1PF2?1222222，?由余弦定理可知：4c?m?n?mn，?4c?a1?3a2，2213a123a26?2?4，???4，设双曲线的离心率为e，则解得e?．故答案选C．

cc222e（）2考点：椭圆的简单性质．

【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率．根据椭圆和双曲线的定义，由P为公共点，可把焦半径PF1、PF2的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴a1,a2来表示，接着用余弦定理表示cos?F1PF2?1，成为一个关于a1,a2以及c的齐次式，等式两边同时2答案第6页，总17页