2016届山东省实验中学高三（上）第四次诊断数学试卷（文科）（解析版）

【考点】程序框图．

【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=4时满足条件k＞3，退出循环，输出S的值为26，即可得解． 【解答】解：模拟执行程序，可得 S=1，k=1 k=2，S=4

不满足条件k＞3，k=3，S=11 不满足条件k＞3，k=4，S=26

满足条件k＞3，退出循环，输出S的值为26． 故答案为：26．

12．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为

π ．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 【分析】由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为

，半径为3的扇形，可知圆锥的母线长，

的扇形，则此圆锥的体积为

底面周长即扇形的弧长，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由h=求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．

【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为120°半径为3的扇形 ∴圆锥的母线长为l=3，底面周长即扇形的弧长为∴底面圆的半径r=1，可得底面圆的面积为π×r2=π 又圆锥的高h=

=

=2=

π，

×3=2π，

故圆锥的体积为V=×π×故答案为：

．

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13．如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 2 ．

【考点】众数、中位数、平均数． 【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据方差的定义得出乙的方差较小，求出乙的方差即可．

【解答】解：根据茎叶图中的数据，得； 甲、乙二人的平均成绩相同，

即×（87+89+90+91+93）=（88+89+90+91+90+x），

解得x=2，

所以平均数为=90；

根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动性小，较为稳定（方差较小）， 且乙成绩的方差为

s2= [（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2．

故答案为：2．

14．已知M，N是圆A：x2+y2﹣2x=0与圆B：x2+y2+2x﹣4y=0的公共点，则△BMN的面积为

．

【考点】圆与圆的位置关系及其判定．

【分析】求出圆B的标准方程，求出圆心B，和半径R，利用作差法求出公共弦MN的方程，利用点到直线的距离公式以及弦长公式结合三角形的面积公式进行求解即可． 【解答】解：圆B：x2+y2+2x﹣4y=0的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=5，即B（﹣1，2），半径R=，

两个圆的方程相减得MN的方程为：4x﹣4y=0，即x﹣y=0， 则B到x﹣y=0的距离d==

，

=，

=

，则|MN|=2

=2

=2

=2×

则△BMN的面积S=|MN|d=故答案为：．

15．已知△ABC的重心为O，过O任做一直线分别交边AB，AC于P，Q两点，设

，则4m+9n的最小值是

．

【考点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的基本定理及其意义；向量在几何中的应用．

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【分析】根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．可以分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，根据平行线等分线段定理和梯形中位线定理可得到等式，利用基本不等式求解表达式的最值．

【解答】解：分别过点B，C作BE∥AD，CF∥AD，交PQ于点E，F，则BE∥AD∥CF，

∵点D是BC的中点，△ABC的重心为O，可得AO=2OD． ∴OD是梯形的中位线， ∴BE+CF=2OD，

，

∴可得

﹣2==3

）=（4+9+ =3时取等号．

）≥（13+2

）=

．

=

=1．

，可得：

，

4m+9n=（4m+9n）（当且仅当2m=3n，故答案为：

．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．根据我国发布的《环境空气质量指数（AQI）技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动．以下是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：

时间 11日 12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日 19日 20日 AQI 149 143 251 254 138 55 69 102 243 （I）求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率； （Ⅱ）一外地游客在12月来济南旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率． 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．

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【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数和市民不适合进行室外活动包含基本事件数，由此能求出12月中旬市民不适合进行户外活动的概率．

（2）利用列举法求出基本事件总数和适合旅游包含基本事件数，由此能求出一外地游客在12月来济南旅游，想连续游玩两天，适合旅游的概率．

【解答】解：（1）该实验的基本事件空间Ω={11，12，13，14，15，16，17，18，19，20}，

基本事件总数n=10，

设事件A=“市民不适合进行室外活动日期”，

则A={13，14，19，20}，包含基本事件数m=4， ∴12月中旬市民不适合进行户外活动的概率p==

．

（2）该实验的基本事件空间： Ω={（11，12），（12，13），（13，14），（14，15），（15，16），（16，17），（17，18），（18，19），（19，20）}， 基本事件总数n=9，

设事件B=“适合旅游的日期”，则B={（11，12），（15，16），（16，17），（17，18）}， 包含基本事件数m=4，

∴一外地游客在12月来济南旅游，想连续游玩两天，适合旅游的概率p=．

17．已知向量

，设

．

（I）求函数f（x）的解析式及单调增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=1，求△ABC的面积．

【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理． 【分析】（I）根据向量数量积的坐标公式得出f（x），利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式化简，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调区间；

（II）根据f（A）=1和A的范围解出A，利用余弦定理得出bc，代入面积公式S=bcsinA即可．

【解答】解：（I）f（x）=令

所以函数的单调递增区间为[（II）∵f（A）=sin（2A+∵0＜A＜π，∴∴2A+

=

＜2A+，即A=

）+=1，∴sin（2A+＜．

，

sinxcosx+cos2x=

sin2x+cos2x+=，解得

]，k∈Z． ）=．

． ．

由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA， ∴1=4﹣3bc，∴bc=1．

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