2017—2019年高考真题汇编专题08 平面解析几何(解答题) (解析版)

则OQ?(?3,t),PF?(?1?m,?n),OQ?PF?3?3m?tn，OP?(m,n),PQ?(?3?m,t?n)． 由OP?PQ?1得?3m?m2?tn?n2?1， 又由（1）知m2?n2?2，故3?3m?tn?0． 所以OQ?PF?0，即OQ⊥PF． 又过点P存在唯一直线垂直于OQ，

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．

（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．

20．【2017年高考北京卷理数】已知抛物线C：y2=2px过点P(1，1).过点(0，

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur1)作直线l与抛物线C交于不2同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. （1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A为线段BM的中点.

【答案】（1）抛物线C的方程为y2?x，焦点坐标为(

11，0)，准线方程为x??；（2）见解析. 44【解析】（1）由抛物线C：y2?2px过点P(1，1)，得p?所以抛物线C的方程为y2?x. 抛物线C的焦点坐标为(

11，0)，准线方程为x??. 441

. 2

（2）由题意，设直线l的方程为y?kx?1（k?0），l与抛物线C的交点为M(x1,y1)，N(x2,y2). 21??y?kx?2，得4k2x2?(4k?4)x?1?0. 由??y2?x?则x1?x2?1?k1xx?. ，12k24k2因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为y?x，点A的坐标为(x1,y1).

直线ON的方程为y?因为y1?y2yxx，点B的坐标为(x1,21). x2x2y2x1yx?y2x1?2x1x2?2x1?12 x2x211(kx1?)x2?(kx2?)x1?2x1x2 22?x21(2k?2)x1x2?(x2?x1) 2?x2(2k?2)??11?k?24k2k2 x2?0，

所以y1?y2x1?2x1. x2故A为线段BM的中点.

【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转化与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数的关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来即可，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.

（1）代入点P求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程； （2）设直线l的方程为y?kx?1（k?0），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的2方程为y?xyy2yxx，联立求得点B的坐标为(x1,21)，再证明y1?12?2x1?0. x2x2x21x2y221．【2017年高考天津卷理数】设椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已

2ab知A是抛物线y?2px(p?0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（2）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

21． 26，求直线AP的方程． 24y2【答案】（1）椭圆的方程为x?（2）3x?6y?3?0或?1，抛物线的方程为y2?4x；

32

3x?6y?3?0．

【解析】（1）设F的坐标为(?c,0)． 依题意，

113c1p?，?a，a?c?，解得a?1，c?，p?2，于是b2?a2?c2?．

224a2224y2所以，椭圆的方程为x??1，抛物线的方程为y2?4x．

3（2）设直线AP的方程为x?my?1(m?0)， 与直线l的方程x??1联立，可得点P(?1,?22)，故Q(?1,)． mm4y2将x?my?1与x??1联立，消去x，整理得(3m2?4)y2?6my?0，

32解得y?0或y??6m．

3m2?4?3m2?4?6m由点B异于点A，可得点B(,2)． 23m?43m?42?6m2?3m2?42由Q(?1,)，可得直线BQ的方程为(2?)(x?1)?(?1)(y?)?0，

m3m?4m3m2?4m2?3m26m22?3m22?3m2令y?0，解得x?，故D(2． ,0)，所以|AD|?1?2?223m?23m?23m?23m?216m2266又因为△APD的面积为，故?， ??223m?2|m|22整理得3m2?26|m|?2?0，解得|m|?66，所以m??． 33所以，直线AP的方程为3x?6y?3?0或3x?6y?3?0．

【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考中都是较有难度的压轴题，本题中第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线的方程，第二步联立方程组求出点的坐标，写出直线的方程，利用面积求直线方程，利用代数的方法解决几何问题，即坐标化、方程化、代数化，这是解题的关键．

（1）由于A为抛物线焦点，F到抛物线的准线l的距离为求出c,a,b，得出椭圆的标准方程和抛物线的方程；

111，则a?c?，又椭圆的离心率为，222

（2）设直线AP的方程为x?my?1(m?0)，解出P,Q两点的坐标，把直线AP的方程和椭圆方程联立解出B点坐标，写出BQ所在直线的方程，求出点D的坐标，最后根据△APD的面积为6，解方程求出2m，可得直线AP的方程．

x2y2222．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:2?2?1(a?b?0)的离心率为，

ab2焦距为2.

（1）求椭圆E的方程；

（2）如图，动直线l:y?k1x?3B两点，C是椭圆E上一点，交椭圆E于A，直线OC的斜率为k2，

2且k1k2?2OS,OT是eMeM的半径为MC，，且MC|:|AB|?2:3，M是线段OC延长线上一点，4的两条切线，切点分别为S,T，求?SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率.

πx22. 【答案】（1）（2）?SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1???y2?1；

322【解析】（1）由题意知e?所以c=1， 所以a?c2?,2c?2， a22,b?1，