奥数基础讲座二次函数的最值（含解答）

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第四节 二次函数最值

内容讲解

二次函数的最值问题，包括三方面的内容：

自变量的取值范围为任意实数时二次函数最值的求法．

b24ac?b2 二次函数y=ax+bx+c=a（x+）+．

2a4a2

当a>0时，抛物线开口向上，此时当x<-

bb时，y随x增大而减小；当x>-时，y

2a2a4ac?b2b随x?增大而增大；当x=-时，y取最小值． 2a4a当a<0时，抛物线开口向下，此时当x<-

bb时，y随x增大而增大；当x>-时，y

2a2a4ac?b2b随x增大而减小；当x=-时，y取最大值． 2a4a 2．自变量的取值范围是某一确定范围时二次函数最值的求法，?要结合图象和增减性来综合考虑．

（1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；

（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得． 3．实际问题中所建立的数学模型是二次函数时，所涉及的二次函数最值的求法，先建模后求解． 例题剖析

例1 （2003年武汉选拔赛试题）若x-1=为（ ）．

y?1z?2?，则x2+y2+z2可取得的最小值23- 1 -

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599 （C） （D）6

214y?1z?2? 分析：设x-1==t，则x2+y2+z2可用只含t的代数式表示，通过配方求最23 （A）3 （B）小值．

解：x=t+1，y=2t-1，z=3t+2，原式=14t2+10t+6=14（t+

525959）+，所以最小值是． 141414 评注：本题体现了如何消元使多元函数转变为一元函数这一思想，我们要用心体会．此外，设比值为k法是解决等比问题最常用的方法．

例2 （1995年全国初中数学联赛试题）设x为正实数，则函数y=x2-x+是________．

分析：先将原函数配方，再求最值 解：y=x2-x+

1的最小值x11=（x-1）2+（x+）-1 xx =（x-1）2+（x?12

）+1 xx?12

）=0，这时得到x=1． x 要求y的最小值，最好有（x-1）2=0且（1取最小值1． x11 评注：函数y=x2-x+含有，不能直接用求二次函数的最值方法，求最值的最原始、

xx 于是，当x=1时，y=x2-x+?最有效的方法仍然是配方法．

例3 （2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题）函数y=2x2+4│x│-1的最小值是________．

分析：对x分类进行讨论，去绝对值符号，转化为在约束条件下，?求二次函数最值问题．

2??2(x?1)?3,x?0, 解：y=2（│x│+1）-3=? 2??2(x?1)?3,x?0.2

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其图象如 图，由图象可知，当x=0时，y最小为-1．

答案：-1．

评注：对于含有绝对值的函数，首先要化去绝对值，变成基本函数，再求极值． 例4 设0≤x≤3，求函数y=f（x）=│x2-23x-1│的最值．

分析：首先画出y=f（x）的图象，然后将y=f（x）图象位于x轴上方的部分保持不变，而将位于x轴下方的图象作关于x轴的对称图形，即得y=│f（x）│的图象．?然后用数形结合方法求函数y=│f（x）│的最值． 解：如图，先作抛物线y=x2-2x-22

3x-1，然后将x轴下方的图象翻转上来，即得y=│

3x-1│的图象，对称轴是直线x=3，方程x2-23x-1=0的两根是3±2．由此

可知，0与3?位于图象与x轴两交点之间，且位于对称轴两侧，故最大值为： f（3）=|（3）-2323-1|=4，

而最小值为f（0），f（3）中较小者

∵f（0）=1，f（3）=63-8>1，∴最小值为1．

评注：画绝对值函数图象，首先脱去绝对值符号（方法同绝对值的化简），?转化为基本函数，再在自变量取值范围内画出符合条件的图象．

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例5 设x1、x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实根，当m为何值，x12+x22有最小值，并求这个最小值．

分析：由韦达定理知x12+x22是关于m的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小值，就要看自变量m的取值范围，从判别式入手．

解：由△=（-4m）2-4323（2m2+3m-2）≥0得m≤

2， 32m2?3m?23737x1+x2=2m，x1x2=，x12+x22=2（m-）2+=2（-m）2+，

484832332，∴-m≥->0， 344323278 从而当m=时，x+x取得最小值，且最小值为23（-）2+=．

34389?∵m≤

评注：定义在某一范围的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： （1）当抛物线的顶点在该范围内，顶点的纵坐标就是函数的最值；

（2）当抛物线的顶点不在该范围内，二次函数的最值在范围内两端点处取得． 例6 求函数y=（4-x）+2x2?9的最值．

分析：此函数是较复杂的复合函数，可通过引入参数来求取函数最值． 解：设u=2x2?9-x，则u>0，且y=4+u．

于是（u+x）2=4（x2+9），即 3x2-2u2x+36-u2=0． ∵x∈R，∴上式的判别式

△=（2u）2-4333（36-u）≥0，

2

即u2≥27，故u≥3 ∴y=4-x+23．

x2?9的最小值为4+33（当x=3时取到）．

评注：通过换元，把原函数转变成关于x的一元二次方程，考虑到一元二次方程有解，由△≥0即可求得u的范围，从而求得y的最值．这是一种常用的方法，应掌握．

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