历年考研数学一真题及答案(1987-2014)

1990年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) x??t?2

(1)过点M(1,2?1)且与直线 y?3t?4垂直的平面方程

是_____________.

z?t?1

(2)设a为非零常数,则?axlim(x??x?a)x=_____________.

(3)设函数f(x)? 10

x?1x?1,

则

f[f(x)]=_____________.

(4)积分?22?y20dx?xedy的值等于_____________. (5)

已

知

向

量

组

α1?(1,2,3,4),α2?(2,3,4,5),α3?(3,4,5,6),α4?(4,5,6,7),

则该向量组的秩是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设f(x)是连续函数,且F(x)??e?xxf(t)dt,则F?(x)等于

(A)?e?xf(e?x)?f(x) (B)?e?xf(e?x)?f(x)

(C)e?xf(e?x)?f(x)

(D)e?xf(e?x)?f(x) (2)已知函数

f(x)具有任意阶导数,且f?(x)?[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,f(x)的n阶导数f(n)(x)是

(A)n![f(x)]n?1 (B)n[f(x)]n?1

(C)[f(x)]2n

(D)n![f(x)]2n

(3)设a为常数,则级数??[sin(na)12?n?1nn] (A)绝对收敛 (B)条件收敛

(C)发散 (D)收敛性与a的取值有关 (4)已知

f(x)在x?0的某个邻域内连续,且

f(0)?0,limf(x)x?01?cosx?2,则在点x?0处f(x) (A)不可导 (B)可导,且f?(0)?0

(C)取得极大值 (D)取得极小值

(5)已知β1、β2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解,α1、α2是对应其次线性方程组AX?0的基础解析,k1、

k2为任意常数,则方程组AX?b的通解(一般解)必是

(A)k1?β21α1?k2(α1?α2)?β2

(B)k1α1?k2(α1?α2)?β1?β22 (C)k1?β21α1?k2(β1?β2)?β2

(D)k1α1?k2(β1?ββ22)?β1?2

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

(1)求?1ln(1?x)0(2?x)2dx.

(2)设z?f(2x?y,ysinx),其中f(u,v)具有连续的二阶偏

导数,求?2z?x?y.

(3)求微分方程y???4y??4y?e?2x的通解(一般解).

四、(本题满分6分)

求幂级数??(2n?1)xn的收敛域,并求其和函数.

n?0

五、(本题满分8分) 求曲面积分

I???yzdzdx?2dxdy

S其中S是球面x2?y2?z2?4外侧在z?0的部分.

六、（本题满分7分）

设不恒为常数的函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)?f(b).证明在(a,b)内至少存在一

点?,使得f?(?)?0.

七、（本题满分6分） 设四阶矩阵

??1?100??2134?B??01?10???,C??0213???001?1?021?? ?0001??0???0002??且矩阵A满足关系式

A(E?C?1B)?C??E

其中E为四阶单位矩阵,C?1表示C的逆矩阵,C?表示C的转

置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵A.

八、（本题满分8分）

求一个正交变换化二次型

f?x2?4x2212?4x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3成标准型.

九、（本题满分8分）

质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点A(1,2)运动到点B(3,4)的过程中受变力Fr作用(见图).Fr的大小等于点P与原点O之间的距

离,其方向垂直于线段OP且与y轴正向的夹角小于?.求变力Fr2对

质点P所作的功.

十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.

把答案填在题中横线上)

(1)已知随机变量X的概率密度函数

f(x)?12e?x,???x??? 则X的概率分布函数F(x)=____________.

(2)设随机事件A、B及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B表示B的对立事件,那么积事件AB的概

率P(AB)=____________.

(3)已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松

(Poisson)分布,即

2ke?2P{X?k}?,k?0,1,2,L,k!则随机变量

Z?3X?2的数学期望E(Z)=____________.

十一、（本题满分6分）

设二维随机变量(X,Y)在区域D:0?x?1,y?x内服从均匀分布,求关于X的边缘概率密度函数及随机变量

Z?2X?1的方差D(Z).