专题05 用好导数,破解函数零点问题(第一篇)-2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)

【指点迷津】

已知区间上有零点，求参数的范围问题．往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：

(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；

(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．

【举一反三】【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上第四次模】已知函数个零点为

．

的两

（1）求实数m的取值范围； （2）求证：【答案】（1）【解析】

． （2）见解析

（2）令

，则

有两个根，

有两个根，

，

由题意知方程即方程

不妨设则当综上可知，要证令

，时，

，令单调递增，

，

，

时，

单调递减，

，即证，即

，下面证

对任意的

，即证

恒成立，

，

∵

，∴

，

∴

又∵∴∴

，∴，则

在

单调递增

，故原不等式成立．

类型三 已知存在零点，证明零点的性质

【例4】【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】已知函数（1）讨论（2若函数

的单调性；

有两个零点分别记为

．

．

①求的取值范围； ②求证：

．

【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶见证明 【解析】 （1）

，

（i）当时，时，时，

，

单调递减； 单调递增．

（iii）当（iv）当

时，时， 时，时，时，

综上所述：

时，时，时，（2）①（i）当（ii）当

时，时，

在

又则

，取

存在两个零点．

且

，

，

时，在

在

单调递增； 单调递减，

单调递增．学科/网 上单调递减，上单调递减，在

上单调递增；

上单调递增；

恒成立，

在上单增．

在上单调递增； 在

，

，只有一个零点，舍去； 上单调递减，

上单调递增，

[来源学科网]上单调递减，上单调递增.

（iii）当时，在上单调递增，时，

不可能有两个零点，舍去． （iv）当（v）当

，

综上所述：②由①知：要证令

当不妨设又

在【指点迷津】

已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中． 【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设（1）若（2）若

无零点，求实数的取值范围； 有两个相异零点

，求证：

． ，函数

时，

，则 ，

上单调递减，

单调递增．

，即

， ，

，原命题得证．学科#网 ，

时，时，

在上单调递增，时，

，又

不可能有两个零点，舍去． 在

单调递减，在

上单调递增，因

不可能有两个零点，舍去． ． ，

在

上单调递减，在

，即证

上单调递增， ，

， 即证，则

【答案】（1）【解析】 (1)①若

时，则

；（2）见解析

是区间上的增函数，∵