专题05 用好导数,破解函数零点问题(第一篇)-2020年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)

一．方法综述

近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题.

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二．解题策略

类型一 讨论函数零点的个数

【例1】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数的切线方程； （2）试判断【答案】（1）【解析】 （1）由已知得∴在

，有

， ，化简得

.

在区间

上有没有零点？若有则判断零点的个数. ； （2）2.

. （1）求

在

处

处的切线方程为：

【指点迷津】

讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点

存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数. 【举一反三】【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=x3?ax?(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线y?f(x) 的切线；

（Ⅱ）用min ?m,n? 表示m,n中的最小值，设函数h(x)?minf(x),g(x)点的个数.

1,g(x)??lnx. 4??(x?0) ，讨论h（x）零

33535；（Ⅱ）当a??或a??时，h(x)由一个零点；当a??或a??时，h(x)有4444453两个零点；当??a??时，h(x)有三个零点. 学&科网

44【答案】（Ⅰ）a?【解析】

（Ⅱ）当x?(1,??)时，g(x)??lnx?0，从而h(x)?min{f(x),g(x)}?g(x)?0， ∴h(x)在（1，+∞）无零点.

55，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?g(1)?0,故x=1是h(x)的零点；4455若a??，则f(1)?a??0，h(1)?min{f(1),g(1)}?f(1)?0,故x=1不是h(x)的零点.

44当x=1时，若a??当x?(0,1)时，g(x)??lnx?0，所以只需考虑f(x)在（0,1）的零点个数.

(ⅰ)若a??3或a?0，则f?(x)?3x?a在（0,1）无零点，故f(x)在（0,1）单调，而f(0)?21，45f(1)?a?，所以当a??3时，f(x)在（0，1）有一个零点；当a?0时，f(x)在（0，1）无零点.

4(ⅱ)若?3?a?0，则f(x)在（0，?aaa）单调递减，在（?，1）单调递增，故当x=?时，f(x)333取的最小值，最小值为f(?a1a2a??. )=3343

①若f(?3a)＞0，即?＜a＜0，f(x)在（0,1）无零点. 343a)=0，即a??，则f(x)在（0,1）有唯一零点； 34②若f(?③若f(?31553a)＜0，即?3?a??，由于f(0)?，f(1)?a?，所以当??a??时，f(x)在（0,1）34444有两个零点；当?3?a??54时，f(x)在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当a??34或a??54时，h(x)由一个零点；当a??354或a??4时，?54?a??34时，h(x)有三个零点. ……12分学*科网 类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围

【例2】【河北省衡水中学2019届高三上学期二调】已知函数

(1)求曲线在点

处的切线方程；

(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.

【答案】（1） （2）

【解析】

（2）由题意得，，

所以. 由，解得， 故当时，，在

上单调递减； 当时，

，

在上单调递增.

所以

. 4h(x)有两个零点；当

又，，

结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，

则

所以实数的取值范围为

解得

.

.

【例3】【2018年理数全国卷II】已知函数（1）若（2）若

，证明：当在

时，

；

．

只有一个零点，求．

【答案】（1）见解析（2）

（2）设函数

在（i）当（ii）当当所以故①若②若③若

．

只有一个零点当且仅当

在

只有一个零点．

时，时，时，在

，没有零点；

．

；当

单调递减，在

时，单调递增． 的最小值． 在在

没有零点；

．

是，即，即，即

在，，

只有一个零点； ，所以

在

有一个零点，

．

有两个零点． ．学*科网

，由于时，

由（1）知，当故

在

在

，所以

在

有一个零点，因此

综上，只有一个零点时，