[人教A版]高中数学必修5同步辅导与检测：第一章1.1第3课时正、余弦定理的综合应用（含答案）

第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第3课时正、余弦定理的综合应用

A级 基础巩固

一、选择题

1．已知三角形的三边长分别是a，b，a2＋b2＋ab，则此三角形中最大的角是( )

A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：因为

a2＋b2＋ab＞a，

a2＋b2＋ab＞b，所以最大边是

a2＋b2＋ab，设其所对的角为θ，则cos θ＝ a2＋b2－（a2＋b2＋ab）21

＝－，θ＝120°.

2ab2答案：C

2．在△ABC中，有下列关系式： ①asin B＝bsin A； ②a＝bcos C＋ccos B； ③a2＋b2－c2＝2abcos C； ④b＝csin A＋asin C. 一定成立的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：C

1

3

3．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则

2BC的长为( )

A.

3

B.3 C．23 D．2 2

1133

解析：S＝×AB·ACsin 60°＝×2××AC＝，所以AC＝1，

2222所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝3.

答案：B

4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是( ) A．sin A＝cos B C．sin A＞cos B

B．sin A＜cos B D．不能确定

解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°. 所以A＞90°－B，

所以sin A＞sin (90°－B)＝cos B. 答案：C

5．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为( )

196π49π19649

A. B. C. D. 3333

?1?

解析：a2＝b2＋c2－2bccos A＝82＋32－2×8×3?2?＝49，

??

714a

所以a＝7，所以2R＝＝＝，

sin A33

2

?7?2497

所以R＝，所以S＝π??＝π.

3?3?3

2

答案：D 二、填空题

6．若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则BC等于________．

1

解析：试题分析：由已知得△ABC的面积为AB·ACsinA＝20sin

2A＝103，

ππ3

所以sin A＝，A∈(0，)，所以A＝.

223

由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝49，BC＝7. 答案：7

7．(2015·北京卷)在△ABC中， a＝4，b＝5，c＝6，则________．

222

sin 2A2sin Acos A2ab＋c－a2×425＋36－16解析：＝＝·＝·＝

csin Csin C2bc62×5×6

sin 2A

＝sin C

1.

答案：1

8．(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，45

c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.

513

答案：

20 13

三、解答题

9．在△ABC中，已知sin2 B－sin2 C－sin2 A＝3sin Asin C．求B的度数．

3

解：因为sin2 B－sin2 C－sin2 A＝3sin A·sin C. 由正弦定理得：b2－c2－a2＝3ac， 由余弦定理得：cos B＝c2＋a2－b23

2ca＝－2.

又0°＜B＜180°， 所以B＝150°.

10．在△ABC中，BC＝5，AC＝3，sin C＝2sin A. (1)求AB的值；

(2)求sin???

2A－π?

4??.

解：(1)在△ABC中，根据正弦定理ABsin C＝BC

sin A，

于是AB＝sin C

sin A·BC＝2BC＝25.

(2)在△ABC中，根据余弦定理得 AB2cos A＝＋AC2－BC22AB·AC＝25

5，

于是sin A＝

5

5

， 由倍角公式得sin 2A＝2sin Acos A＝4

5，

cos 2A＝2cos2A－1＝3

5

，

所以sin??π?ππ2??

2A－?

4??＝sin 2Acos4－cos 2Asin4＝10. B级 能力提升

4