当前位置:首页 > [人教A版]高中数学必修5同步辅导与检测:第一章1.1第3课时正、余弦定理的综合应用(含答案)
第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 第3课时正、余弦定理的综合应用
A级 基础巩固
一、选择题
1.已知三角形的三边长分别是a,b,a2+b2+ab,则此三角形中最大的角是( )
A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:因为
a2+b2+ab>a,
a2+b2+ab>b,所以最大边是
a2+b2+ab,设其所对的角为θ,则cos θ= a2+b2-(a2+b2+ab)21
=-,θ=120°.
2ab2答案:C
2.在△ABC中,有下列关系式: ①asin B=bsin A; ②a=bcos C+ccos B; ③a2+b2-c2=2abcos C; ④b=csin A+asin C. 一定成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案:C
1
3
3.在△ABC中,A=60°,AB=2,且△ABC的面积为,则
2BC的长为( )
A.
3
B.3 C.23 D.2 2
1133
解析:S=×AB·ACsin 60°=×2××AC=,所以AC=1,
2222所以BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 60°=3,所以BC=3.
答案:B
4.锐角三角形ABC中,sin A和cos B的大小关系是( ) A.sin A=cos B C.sin A>cos B
B.sin A<cos B D.不能确定
解析:在锐角三角形ABC中,A+B>90°. 所以A>90°-B,
所以sin A>sin (90°-B)=cos B. 答案:C
5.在△ABC中,b=8,c=3,A=60°,则此三角形外接圆面积为( )
196π49π19649
A. B. C. D. 3333
?1?
解析:a2=b2+c2-2bccos A=82+32-2×8×3?2?=49,
??
714a
所以a=7,所以2R===,
sin A33
2
?7?2497
所以R=,所以S=π??=π.
3?3?3
2
答案:D 二、填空题
6.若锐角△ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于________.
1
解析:试题分析:由已知得△ABC的面积为AB·ACsinA=20sin
2A=103,
ππ3
所以sin A=,A∈(0,),所以A=.
223
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A=49,BC=7. 答案:7
7.(2015·北京卷)在△ABC中, a=4,b=5,c=6,则________.
222
sin 2A2sin Acos A2ab+c-a2×425+36-16解析:==·=·=
csin Csin C2bc62×5×6
sin 2A
=sin C
1.
答案:1
8.(2016·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,45
c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=________.
513
答案:
20 13
三、解答题
9.在△ABC中,已知sin2 B-sin2 C-sin2 A=3sin Asin C.求B的度数.
3
解:因为sin2 B-sin2 C-sin2 A=3sin A·sin C. 由正弦定理得:b2-c2-a2=3ac, 由余弦定理得:cos B=c2+a2-b23
2ca=-2.
又0°<B<180°, 所以B=150°.
10.在△ABC中,BC=5,AC=3,sin C=2sin A. (1)求AB的值;
(2)求sin???
2A-π?
4??.
解:(1)在△ABC中,根据正弦定理ABsin C=BC
sin A,
于是AB=sin C
sin A·BC=2BC=25.
(2)在△ABC中,根据余弦定理得 AB2cos A=+AC2-BC22AB·AC=25
5,
于是sin A=
5
5
, 由倍角公式得sin 2A=2sin Acos A=4
5,
cos 2A=2cos2A-1=3
5
,
所以sin??π?ππ2??
2A-?
4??=sin 2Acos4-cos 2Asin4=10. B级 能力提升
4
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