高考数学一轮复习 函数的奇偶性与周期性教案

函数的奇偶性与周期性

一、考纲要求

函数的奇偶性与周期性B 二、复习目标

1．理解函数奇偶性的定义； 2、会判断函数的奇偶性 ；3、能证明函数的奇偶性；4、理解函数周期性的定义；5、会求周期函数的周期。 三、重点难点

函数奇偶性的判断及证明；函数周期性判断及周期求法。 四、要点梳理

1．奇、偶函数的定义：

对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有_______________，称f(x) 为偶函数，对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有________________，称f(x) 为奇函数． 2．奇、偶函数的性质

（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于_________对称；

（2）奇函数的图像关于____对称，偶函数的图像关于_________对称； （3）若奇函数的定义域包含0，则_____________； （4）在偶函数中，f(x)?f(x)．

（5）在公共定义域内，①两个奇函数的和是___函数，两个奇函数的积是____函数；②两个偶函数的和、积是___函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是____函数. （填“奇”，“偶”）

3．对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

4．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个 就叫做f(x)的最小正周期． 5．周期性三个常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x ： (1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；

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(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a ； (3) 若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a > 0 )

fxfx五、基础自测

1．对于定义在R上的函数f(x)，下列命题正确的序号是___________． （1）若f(?2)?f(2)，则函数f(x)是偶函数； （2）若f(?2)?f(2)，则函数f(x)不是偶函数； （3）若f(?2)?f(2)，则函数f(x)不是奇函数； （4）若f(x)是偶函数，则f(?2)?f(2)．

1?x21?xx?1f(x)??2x?52．给出4个函数：①f(x)?；②；③；④． f(x)?lgf(x)?3?x41?xx?1其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数．

3．已知函数f(x)?4x?bx?3a?b是偶函数，其定义域是[a?6,2a]，则点?a,b?的坐标为

2__________．

3??4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)??f?x??，且f(1)?2，则f(2 014)＝________.

2??5．若函数f(x)?x?a在[?1,1]上是奇函数，则f(x)? ．

x2?bx?1六、典例精讲:

例1 判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

1?x(1?2x)22f(x)?(1?x)（1）f(x)?； （2）； （3）； f(x)?lg(x?x?1)2x1?x（4）f(x)?x?|x?1|?1； （5）f(x)?22???x?x(x≥0), x?1?1?x；(6) f(x)??2??x?x(x?0).22

例2：设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x?2)??f?x?．当x∈[0,2]时，

f(x)?2x?x2。

(1)求证：f(x)是周期函数；

(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．

例3、 已知函数f(x)的定义域是不等于0的所有实数，对定义域内的任意x1,x2，都有

f(x1x2)?f(x1)?f(x2),

（1）求f(1)的值； （2）判断函数f(x)的奇偶性并证明；

（3）如果f(4)?1,f(3x?1)?f(2x?6)?3，且f(x)在?0,???上是增函数，求x的取值范围．

七、千思百练:

1．下列函数中是奇函数的是___________． (1) f(x)?lg1?x2 (2) f(x)?1?x (3) f(x)?x?1?x?1 1?x2?1x2?1 (4) f(x)? (5) f(x)?3x2?3x

x32．函数f(x)?x?sinx?1(x?R)，若f(3)?2，则f(?3)的值为___________．

3．若偶函数y＝f(x)为R上的周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________． 4．已知f(x)是R上的奇函数,且当x?(0,??)时,f(x)?x(1?3x),则f(x)的解析式 为__________．

5．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间?0,???上是单调增函数，若f(1)?f(lgx)，则x的取值范围为___________．

?1)?f(x?)当3x??0,1?时，6．已知定义在R上的偶函数f(x)满足：f(x． f(x)?2?x则,f?(20=_________________0ax＋1，－1≤x＜0，??

7．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x)＝?bx＋2

，0≤x≤1，??x＋1

?1??3?其中a，b∈R.若f??＝f??，则a＋3b的值为________．

?2??2?

8．函数f(x)的定义域为[?1,1]．

?1? （1）若f(x)是奇函数，在区间[?1,0)上为增函数，且f???0，解不等式xf(x)?0；

?2?（2）若f(x)是偶函数，在区间[?1,0]上为增函数，解不等式f(5x?1)?f(6x2)．

??x2?2xx?0?9． 已知函数f(x)??0x?0是奇函数．

?2?x?mxx?0(1) 求实数m的值；

(2) 若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

10．已知函数f(x)?loga (1) 求m的值；

(2) 判断f(x)在区间?1,???的单调性并加以证明；

(3) 当a?1,x?(1,3)时,f(x)的值域是（1，+?）,求a的值．

八、总结反思:

1?mx(a?0且a?1)是奇函数 x?1