陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考 数学（理） 含答案

市一中2018-2019学年度第一学期第一次模拟考试

高三数学试题答案 （理科）

一、 选择题（共12题，每题3分，共36分） 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 D 5 B 6 C 7 C 8 B 9 A 10 C 11 A 12 D 二、填空题（共4题，每题4分，共16分）

71413. －9 14. ? 15. 9?a?1 16. ②③

e三、解答题（共5大题，共48分）

?xπ??xπ?

17. 解：(1)f(x)＝23sin?＋?cos?＋?－sin(x＋π)

?24??24?

π??

＝3cos x＋sin x＝2sin?x＋?，

3??

于是T＝

2π

＝2π. 1

π?π???

(2)由已知得g(x)＝f?x－?＝2sin?x＋?，

6?6???∵x∈[0，π]，∴x＋

π?π7π?∈?，?

6?6?6

π??1??

∴sin?x＋?∈?－，1?，

6??2??π??

∴g(x)＝2sin?x＋?∈[－1,2]．

6??

故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.

π2π?2π?31

??18. 解：(1)因为A＝3，所以B＋C＝3，故sin－C＝3sin C，所以2cos C＋2sin C?3?＝3sin C，

3 53

即2cos C＝2sin C，得tan C＝5.

bc

(2)由sin B＝sin C，sin B＝3sin C，得b＝3c. 在△ABC中，由余弦定理，得

1

a2＝b2＋c2－2bccos A＝9c2＋c2－2×(3c)×c×2＝7c2， 又因为a＝7，所以c＝1，b＝3， 133

所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝. 247

19. 解: (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝4x－3. 1b

当x＝2时，y＝2.又f′(x)＝a＋x2， b12a－??2＝2，于是?b7

a＋??4＝4，

?a＝1，3

解得?故f(x)＝x－x.

?b＝3.

3

(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋x2，知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为 3?3??3???

x0－1＋????y－y0＝?1＋x2(x－x)，即y－＝(x－x0)． 0

0?x0??x20????

6?6?

令x＝0，得y＝－x0，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为?0，－x0?.

??令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

1?6?

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝2?－x0?|2x0|

??＝6.

故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.

20. 解:（1）因为f(x)?lnx?ax?bx,所以

2f?(x)?1?2ax?bx

因为函数f(x)?lnx?ax2?bx在x?1处取得极值

f?(1)?1?2a?b?0

2x2?3x?1当a?1时，b??3，f?(x)?，

x

f'(x),f(x)随x的变化情况如下表：

x 1(0,) 2? 1 20 1(,1) 2 1 0 极小值 （1，+?）? f'(x) f(x) ↑ 极大值 ↓ ↑ 11,1，+?）所以f(x)的单调递增区间为(0,)（， 单调递减区间为(,1) 222ax2?2(a?1)x?1(2ax?1)(x?1)(2)因为f?(x)? ?xx令f?(x)?0,x1?1,x2?1 2a因为f(x)在 x?1处取得极值，所以x2?当

1?x1?1 2a1?0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,e]上单调递减 2a所以f(x)在区间?0,e?上的最大值为f(1)，令f(1)?1，解得a??2 当a?0，x2?当

1?0 2a111?1时，f(x)在(0,)上单调递增，(,1)上单调递减，(1,e)上单调递增 2a2a2a所以最大值1可能在x?而f(1或x?e处取得 2a111111)?ln?a()2?(2a?1)?ln??1?0 2a2a2a2a2a4a1 e?2所以f(e)?lne+ae2?(2a?1)e?1，解得a?当1?111?e时,f(x)在区间(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减，(,e)上单调递增

2a2a2a所以最大值1可能在x?1或x?e处取得 而f(1)?ln1?a?(2a?1)?0

所以f(e)?lne+ae2?(2a?1)e?1， 解得a? 当x2?11?e矛盾 ，与1?x2?2ae?21? e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1,e)单调递减， 2a所以最大值1可能在x?1处取得，而f(1)?ln1?a?(2a?1)?0，矛盾 综上所述，

a?1e?2或 a??2． 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org