第3章 第3讲 三角函数的图象与性质

第三章 第三讲

A组 基础巩固

一、选择题 1．函数y＝ππ

A．[－，] 66

ππ

C．[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)

66[答案] C [解析] ∵cosx－

33ππ

≥0，得cosx≥，∴2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 2266cosx－

3

的定义域为导学号 25400765( ) 2

ππ

B．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

66D．R

2．(2015·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是导学号 25400766( )

π

A．y＝cos(2x＋)

2C．y＝sin2x＋cos2x [答案] A

π

[解析] 采用验证法．由y＝cos(2x＋)＝－sin2x，可知该函数的最小正周期为π且为奇

2函数，故选A．

π

3．(2015·石家庄一模)函数f(x)＝tan(2x－)的单调递增区间是导学号 25400767( )

3kππkπ5π

A．[－，＋](k∈Z)

212212π2π

C．(kπ＋，kπ＋)(k∈Z)

63[答案] B

πππkππkπ5π

[解析] 由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝

232212212πkππkπ5π

tan(2x－)的单调递增区间为(－，＋)(k∈Z)，故选B．

3212212

π4．(2015·沈阳质检)已知曲线f(x)＝sin2x＋3cos2x关于点(x0,0)成中心对称，若x0∈[0，]，

2则x0＝导学号 25400768( )

π

A．

12π

C．

3

π

B．

65πD． 12

kππkπ5π

B．(－，＋)(k∈Z)

212212π5π

D．[kπ－，kπ＋](k∈Z)

1212π

B．y＝sin(2x＋) 2D．y＝sinx＋cosx

[答案] C

ππ

[解析] 由题意可知f(x)＝2sin(2x＋)，其对称中心为(x0,0)，故2x0＋＝kπ(k∈Z)，∴x0

33πkπππ

＝－＋(k∈Z)，又x0∈[0，]，∴k＝1，x0＝，故选C．

6223

5．函数y＝cos2x＋sin2x，x∈R的值域是导学号 25400769( ) A．[0,1] C．[－1,2] [答案] A

1－cos2x[解析] y＝cos2x＋sin2x＝cos2x＋ 2＝

1＋cos2x

.∵cos2x∈[－1,1]，∴y∈[0,1]． 2

1

B．[，1]

2D．[0,2]

π

6．(2015·武汉调研)已知函数f(x)＝sin(2x－)(x∈R)，下列结论错误的是

2导学号 25400770( )

A．函数f(x)是偶函数 B．函数f(x)的最小正周期为π π

C．函数f(x)在区间[0，]上是增函数

2π

D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

4[答案] D

π

[解析] f(x)＝sin(2x－)＝－cos2x，此函数为最小正周期为π的偶函数，所以A，B正确，

2kππ

函数图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)，显然，无论k取任何整数，x≠，所以D错误，答

24案为D．

二、填空题

π

7．函数y＝tan(2x＋)的图象与x轴交点的坐标是________.导学号 25400771

4kππ

[答案] (－，0)，k∈Z

28

πkππ

[解析] 由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．

428

πkππ

∴函数y＝tan(2x＋)的图象与x轴交点的坐标是(－，0)，k∈Z.

428π

8．函数y＝cos(－2x)的单调减区间为________.导学号 25400772

4

π5π

[答案] [kπ＋，kπ＋](k∈Z)

88ππ

[解析] 由y＝cos(－2x)＝cos(2x－)得

44π

2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

4π5π

故kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

88

π5π

所以函数的单调减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．

88

ππ

9．设函数f(x)＝3sin(x＋)，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)

24成立，则|x1－x2|的最小值为________.导学号 25400773

[答案] 2

ππ2

[解析] f(x)＝3sin(x＋)的周期T＝2π×＝4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和

24πT

最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.

2

10．(2015·天津)已知函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________.导学号 25400774

[答案]

π

2

π

[解析] f(x)＝sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋)，因为函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，

4ππππ

所以f(ω)＝2sin(ω2＋)＝±2，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，即ω2＝＋kπ，k∈Z，又函数

4424πππππf(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋≤，即ω2≤，取k＝0，得ω2＝，所以ω＝. 42442

三、解答题

11．(2015·安徽)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋cos2x.导学号 25400775 (1)求f(x)的最小正周期；

π

(2)求f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．

2[答案] (1)π (2)2＋1,0

π

[解析] (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sinxcosx＋cos2x＝1＋sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)＋

41，

2π

所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π.

2π

(2)由(1)知，f(x)＝2sin(2x＋)＋1.

4πππ5π

当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，

2444π5π

由正弦函数y＝sinx在[，]上的图象知，

44πππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值2＋1；

428π5ππ

当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.

442

π

综上，f(x)在[0，]上的最大值为2＋1，最小值为0.

2

π

12．(2015·重庆)已知函数f(x)＝sin(－x)sinx－3cos2x.导学号 25400776

2(1)求f(x)的最小正周期和最大值； π2π

(2)讨论f(x)在[，]上的单调性．

63

2－3π5π5π2π

[答案] (1)π， (2)增区间[，]，减区间[，] 2612123

π313

[解析] (1)f(x)＝sin(－x)sinx－3cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－

22222－33π3＝sin(2x－)－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. 2322

π2ππ

(2)当x∈[，]时，0≤2x－≤π，从而

633πππ5π

当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，

32612ππ5π2π

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减． 23123

π5π5π2π

综上可知，f(x)在[，]上单调递增；在[，]上单调递减．

612123

B组 能力提升

ππ2π

1．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，且|φ|＜)在区间[，]上是单调减函数，且函数值从

263π

1减少到－1，则f()＝导学号 25400777( )

4

1

A．

2C．

3 2

B．

2

2

D．1