2020年高考一轮复习《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》

?π??9．(2019·昆明诊断)已知函数f(x)＝4cos ωx·sinωx＋6?＋a(ω>0)??

图象上最高点的的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

(1)求a和ω的值；

(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．

?π?

解：(1)f(x)＝4cos ωx·sin?ωx＋6?＋a

?

?

?3?1

?＝4cos ωx·sin ωx＋cos ωx?＋a

2?2?

＝23sin ωxcos x＋2cos2 ωx－1＋1＋a ＝3sin 2ωx＋cos 2ωx＋1＋a

?π?

?＝2sin2ωx＋6?＋1＋a. ??

?π??当sin2ωx＋6?＝1时，f(x)取得最大值2＋1＋a＝3＋a. ??

又f(x)最高点的纵坐标为2，所以3＋a＝2，即a＝－1. 又f(x)图象上相邻两个最高点的距离为π， 所以f(x)的最小正周期为T＝π， 所以2ω＝

2π

＝2，ω＝1. T

?π?

(2)由(1)得f(x)＝2sin?2x＋6?，

??

ππ3π

令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 262π2π

得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 63π2π令k＝0，得≤x≤. 63

?π2π?

所以函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为?6，3?.

??

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10．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近ππ

似满足函数关系：f(t)＝10－3cost－sint，t∈[0，24)．

1212

(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．

?π??π?2π

解：(1)f(8)＝10－3cos?12×8?－sin?12×8?＝10－3cos－

3?????1?2π3

??sin＝10－3×－2－＝10.

32??

故实验室上午8时的温度为10℃.

?3π1π?

?(2)因为f(t)＝10－2cost＋sint? 212212???ππ?

?＝10－2sin12t＋3?， ??

πππ7π

又0≤t＜24，所以≤t＋＜，

31233

?ππ??t＋所以－1≤sin123?≤1. ???ππ?

当t＝2时，sin?12t＋3?＝1；

?

?

?ππ?

当t＝14时，sin?12t＋3?＝－1.

??

于是f(t)在[0，24)上取得最大值为12，取得最小值为8. 故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.

B组 素养提升

11.(2019·湖南长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋

?π??5π??11π?

φ)?ω>0，|φ|<2?的部分图象如图所示，已知A?12，1?，B?12，－1?，??????

则f(x)的图象的对称中心为( )

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?kπ5π??5π?

A.?2＋6，0?，k∈Z B.?kπ＋6，0?，k∈Z ?????kππ??C.2＋6，0?，k∈Z ??

?π?

?D.kπ＋6，0?，k∈Z ??

?11π5π?2π

??解析：T＝212－12＝π＝，所以ω＝2，

ω??

因此f(x)＝sin(2x＋φ)．

?5π?5ππ

由五点作图法知A?12，1?是第二点，得2×＋φ＝.

122???π?π

所以φ＝－，所以f(x)＝sin?2x－3?.

3??

πkππ

令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．

326

?kππ?

所以f(x)的图象的对称中心为?2＋6，0?，k∈Z.

??

答案：C

π

12．已知x＝是函数f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0<φ<π)

123π

图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到

4

?ππ?

函数g(x)的图象，则函数g(x)在?－4，6?上的最小值为( )

??

A．－2 C．－2

B．－1 D．－3

π

解析：f(x)＝3sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin(2x＋＋φ)．因为x

6

?π?πππ

＝是f(x)＝2sin?2x＋6＋φ?图象的一条对称轴，所以＋φ＝kπ＋(k1232??

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π

∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)．

6

?π?π

??， 2x＋因为0<φ<π，所以φ＝，则f(x)＝2sin36???π??ππ?

?所以g(x)＝－2sin2x－6?在?－4，6?上的最小值为????

?π?

g?6?＝－1. ??

答案：B

13．(2019·广东省际名校联考)将函数f(x)＝1－23·cos2 x－(sin xπ

－cos x)2的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若x∈

3

?ππ?

?－，?，则函数g(x)的单调递增区间是________． ?22?

解析：因为f(x)＝1－23cos2 x－(sin x－cos x)2＝sin 2x－3cos

?π???2x－2x－3＝2sin3?－3， ?

π?π????π?

??????x＋2x＋2－所以g(x)＝2sin3?3?－3＝2sin?3?－3， ??πππ

令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，

232得－

5ππ

＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 1212

?

?

?ππ?因为x∈?－2，2?，

?ππ??5ππ?

所以函数g(x)在?－2，2?上的单调递增区间是?－12，12?.

?????5ππ?

答案：?－12，12?

??

14．已知函数f(x)＝2sin ωxcos ωx＋23sin2 ωx－3(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

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