河南省郑州市新郑一中分校2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

点评： 本题通过多个问题来考查函数复合函数的研究方法，涉及了函数的奇偶性，单调性，最值等，知识点，方法灵活，要细心耐心．

三、解答题（本大题共6小题，共74分）

2222

17．（12分）已知集合A={x|x﹣ax+a﹣19=0}，B={x|x﹣5x+6=0}，C={x|x+2x﹣8=0}， （1）求B∩C；

（2）若A∩B≠?，A∩C=?，求实数a的值．

考点： 交集及其运算． 专题： 规律型．

分析： （1）先求出集合B，C，利用集合的基本运算求B∩C． （2）利用条件A∩B≠φ，A∩C=?，确定实数a的值．

解答： 解：（1）∵B={x|x﹣5x+6=0}={2，3}，

2

C={x|x+2x﹣8=0}={﹣4，2}， ∴B∩C={2}．

（2）若A∩B≠?，则2，3至少有一个元素在A中， 又∵A∩C=?， ∴2?A，3∈A，

2

即9﹣3a+a﹣19=0，得a=5或﹣2． 而a=5时，A=B与A∩C=?矛盾， ∴a=﹣2．

点评： 本题主要考查集合的基本运算，以及利用集合关系求参数问题，考查学生分析问题的能力，利用一元二次方程根的关系是解决本题的关键．

18．（12分）已知函数f（x）=

，求函数f（x）的定义域与值域．

2

考点： 指数型复合函数的性质及应用；函数的定义域及其求法；函数的值域． 专题： 计算题．

分析： 由4﹣2≥0，解指数不等式求出函数的定义域．令

2

x

，则y=4﹣t﹣2t﹣1=

2

﹣（t+1）+4，利用0≤t＜2及二次函数的性质求出y的取值范围，即为函数的值域．

xx

解答： 解：由4﹣2≥0，得2≤4．…．（3分） 解得x≤2，∴定义域为{x|x≤2}．…..（8分） 令

2

，则2=4﹣t，…．（9分）

2

x2

则y=4﹣t﹣2t﹣1=﹣（t+1）+4．…（11分）

∵0≤t＜2，∴﹣5＜y≤3，…（14分） ∴函数的值域为（﹣5，3]．

点评： 本题主要考查指数型复合函数的性质及应用，二次函数的性质应用，求函数的定义域和值域，属于中档题．

19．（12分）已知f（x）=（n∈Z）的图象在[0，+∞）上单调递增，解不等式f（x

2

﹣x）＞f（x+3）

考点： 幂函数的性质．

专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： 根据题意，求出n的值，讨论n的取值对应的函数f（x）的单调性，求出不等式f2

（x﹣x）＞f（x+3）的解集来．

解答： 解：根据题意，即﹣n+2n+3＞0， 解得﹣1＜n＜3； 又∵n∈Z， ∴n=0，1，2； 当n=0时，当n=1时，当n=2时，∴当n=0或2时，

22

，

， ， ；

，函数在R上单调递增，

∵f（x﹣x）＞f（x+3）， 2

∴x﹣x＞x+3，

解得x＜﹣1或x＞3，

∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）； 当n=1时，

2

，函数在[0，+∞）上单调递增，

∵f（x﹣x）＞f（x+3），

∴，

解得﹣3≤x＜﹣1或x＞3，

∴原不等式的解集为[﹣3，﹣1）∪（3，+∞）．

点评： 本题考查了幂函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，解题时容易忽略第一个条件，直接去研究如何解不等式，题目中给出的所有条件都是对题目的诠释，是综合题． 20．（12分）已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．

（1）求f（0）的值．

（2）求f（x）的解析式． （3）已知a∈R，设P：当

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[﹣2，2]

时，g（x）=f（x）﹣ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩?RB（R为全集）．

考点： 抽象函数及其应用；交、并、补集的混合运算． 专题： 计算题．

分析： （1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=﹣1，y=1求出f（0）； （2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f（x）的解析式的问题；

（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集合A，利用二次函数的单调性求解策略求出集合B． 解答： 解：（1）令x=﹣1，y=1，则由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1） ∴f（0）=﹣2

（2）令y=0，则f（x）﹣f（0）=x（x+1） 又∵f（0）=﹣2

2

∴f（x）=x+x﹣2

2

（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x+x﹣2+3＜2x+a

也就是x﹣x+1＜a．由于当恒成立，

2

时，，又x﹣x+1=

2

故A={a|a≥1}，g（x）=x+x﹣2﹣ax=x+（1﹣a）x﹣2 对称轴x=又g（x）在[﹣2，2]上是单调函数，故有

22

， ，

∴B={a|a≤﹣3，或a≥5}，CRB={a|﹣3＜a＜5} ∴A∩CRB={a|1≤a＜5}．

点评： 本题考查抽象函数解析式的求解，考查赋值法求函数值、函数解析式的思想，考查恒成立问题的解决方法、考查二次函数单调性的影响因素，考查学生的转化与化归能力，属于中档题．

21．（12分）已知f（x）=

，（a＞0且a≠1）

（1）判断f（x）的奇偶性． （2）讨论f（x）的单调性．

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

考点： 指数函数综合题；函数奇偶性的判断． 专题： 函数的性质及应用．

分析： （1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（﹣x）=﹣f（x），从而可得函数为奇函数；

（2）再证单调性：利用定义任取x1＜x2，利用作差比较f（x1）﹣f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性；

（3）对一切x∈[﹣1，1]恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可． 解答： 解：（1）∵f（x）=所以f（x）定义域为R， 又f（﹣x）=

（a﹣a）=﹣

﹣x

，

x

（a﹣a）=﹣f（x），

x﹣x

所以函数f（x）为奇函数， （2）任取x1＜x2 则f（x2）﹣f（x1）=

（a﹣a）（1+a

﹣（x1+x2）

x2x1﹣（x1+x2）

）

∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a＞0

2x2x1

①当a＞1时，a﹣1＞0，a﹣a＞0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0，

2x2x1

②当0＜a＜1时，a﹣1＜0．，a﹣a＜0，则有f（x2）﹣f（x1）＞0， 所以f（x）为增函数；

（3）当x∈[﹣1，1]时，f（x）≥b恒成立， 即b小于等于f（x）的最小值，

由（2）知当x=﹣1时，f（x）取得最小值，最小值为

（

）=﹣1，

∴b≤﹣1．

求b的取值范围（﹣∞，﹣1]．

点评： 本题考查了函数的奇偶性的判断，函数单调性的证明，抽象函数性质应用，关键是正确应用函数的基本性质解题．

22．（14分）设函数g（x）=ax+bx+c（a＞0），且g（1）=﹣ （1）求证：函数g（x）有两个零点

（2）设m，n是函数g（x）的两个零点，求|m﹣n|的取值范围 （3）讨论函数g（x）在区间（0，2）内的零点个数．

考点： 函数零点的判定定理；二次函数的性质． 专题： 计算题；证明题；函数的性质及应用．

2

分析： （1）法一：利用数形结合的思想证明，法二：由得；

利用判别式法证明；

2

（2）由m，n是函数g（x）的两个零点可得ax+bx+c=0的两根为m，n；从而利用韦达定理求解；