1.3.2 人教A版数学选修2-3 第1章 计数原理

解析：(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1得(2＋3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 令x＝－1得(－2＋3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4； 两式相乘得(3－4)4＝(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝1. 答案：1 11．在?________．

解析：∵二项式的展开式中所有项的二项式系数和为2n，而所有偶数项的二项式系数和与所有奇数项的二项式系数和相等，故由题意得2n－1＝1 024，∴n＝11，∴展开式共12

6项，中间项为第六项、第七项，其系数为C511＝C11＝462.

?

?n131?的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间项系数是?＋

xx3?

答案：462

12．若(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 012)＝________.(用数字作答)

解析：在(1－2x)2 012＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 012x2 012中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1， 则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012 ＝(－1)2 012＝1，

故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 012) ＝2 011a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 012 ＝2 012. 答案：2 012 三、解答题

13．对二项式(1－x)10，

(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项； (2)求展开式中各二项式系数之和；

(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和． 解析：(1)展开式共11项，中间项为第6项，

55

T6＝C510(－x)＝－252x；

0＋C1＋C2＋…＋C10＝210＝1 024. (2)C10101010

(3)设(1－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0 令x＝0，得a0＝1， ∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.

1?n14．已知??2＋2x?，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．

4＋C6＝2C5， 解析：∵Cnnn

整理得n2－21n＋98＝0， ∴n＝7或n＝14，

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，

1?43351?4??324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系T4的系数为C32＝，T的系数为C757

?2??2?217??727＝3 432. 数最大项是T8，T8的系数为C14

?2? 能力提升 m

x＋?n展开式的二项式系数之和为256. 15.已知??x?(1)求n；

35

(2)若展开式中常数项为，求m的值；

8

(3)若(x＋m)n展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 解析：(1)二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. (2)设常数项为第r＋1项，则 m8－r??r＝Crmrx8－2r， Tr＋1＝Crx88?x?354

故8－2r＝0，即r＝4，则C48m＝， 81解得m＝±. 2

(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．

rrr1r1??C8m≥C8－m－则?，

rrr＋1r＋1??C8m≥C8m

8m－19m化简可得≤r≤. m＋1m＋1

由于只有第6项和第7项系数最大，

8m－1?4<

?m＋1≤5，所以?

9m6≤<7.?m＋1?所以m只能等于2.

?4

即?7

2≤m<.?2

5

16．杨辉三角中，除每行的两端数值外，每一数值都是它左上角和右上角两个数值之和，杨辉三角开头几行如图所示．

(1)利用杨辉三角展开(1－x)6；

(2)在杨辉三角中哪一行会出现相邻的三个数，它们的比是3：4：5?

解析：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它肩上的两个数的和”，可写出第6行的二项式系数为1,6,15,20,15,6,1，所以(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.令a＝1，b＝－x，得(1－x)6＝1－6x＋15x2－20x3＋15x4－6x5＋x6.

－1(2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3：4：5，并设这三个数分别是Ckn，

k＋1

Ckn，Cn，

??则有?4C

＝?5?C

3Cn－＝，4Ckn

kk

nk＋1n

1

，

??所以?n！?k＋1?！?n－1－k?！4

，?n！?5＝k！?n－k?！×3k＝，?4n＋1－k?所以?

4k＋1＝，?5n－k?

n！k！?n－k?！3＝×，4?k－1?！?n＋1－k?！n！

??3n－7k＝－3，

即?

4n－9k＝5，??