1.3.2 人教A版数学选修2-3 第1章 计数原理

24

∴展开式中系数最大的项为T5＝C45x (3x)＝405x

23263.

2

x＋2?n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． 8．已知?x??(1)求该展开式中所有有理项的项数； (2)求该展开式中系数最大的项．

n

解析：(1)由题意，可知＋1＝6，∴n＝10.

2

10-rr

∴Tr＋1＝C10x210-5r2r

2rx－2r＝Cr102x，

10－5r

当r＝0,2,4,6,8,10时，∈Z.

2∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第Tr＋1项的系数最大，

2

1

rrr－1r－1?2，?C102≥C10则?

rr＋1r＋1

，?Cr102≥C102?

≥，??r11－r

即?12

≥.?10－rr＋1?

1922

解得≤r≤.

33∵r∈N，∴r＝7.

2525--277

T8＝C102x＝15 360x2∴展开式中系数最大的项为

.

基础达标 一、选择题

1

x＋?n的展开式的各项系数之和为64，则展开式的常数项为( ) 1．若??x?

A．10 B．20 C．30 D．120

6－k·6－2k，由6－2k＝0，得k＝3，∴T＝解析：由2n＝64，得n＝6.Tk＋1＝Ckx－k＝Ck6x6x4

3＝20. C6

答案：B

2

x2－?n展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为( ) 2．若二项式?x??A．－1 B．1 C．27 D．－27

2

x2－?n展开式的二项式系数之和为8，所以2n＝8，解得n＝3. 解析：二项式?x??2

x2－?3展开式的系数之和为(1－2)3＝－1. 所以?x??答案：A

a1

x＋??2x－?5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) 3.?x??x??

A．－40 B．－20 C．20 D．40

11

x＋??2x－?5，故其常数项为－解析：令x＝1，则有1＋a＝2，得a＝1，故二项式为?x??x??

32

22×C35＋2C5＝40.

答案：D

1

x3＋2?n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，4．若?则该展开式中的常数项为( ) x??A．210 B．252 C．462 D．10

解析：由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式

6＝210. 项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为C10

答案：A

1

x－?10的展开式中，系数最大的项为( ) 5.??x?A．第五项 B．第六项

C．第五项和第六项 D．第五项和第七项

解析：由二项式定理知，展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等． 1?5

5?5

由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝C510x－?x?＝－C10，二项式系数等于项的系数1?4

6?4x2， 的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝C4＝C10x－10

x??1?6

4?6x－2，且C4＝C6， T7＝C6＝C10x－101010?x?∴系数最大的项为第五项和第七项． 答案：D

a1a2a2 009

6．若(1－2x)2 009＝a0＋a1x＋…＋a2 009x2 009(x∈R)，则＋2＋…＋2 009的值为( )

222A．2 B．0 C．－1 D．－2

1a1a2a2 009a1a2a2 009

解析：令x＝0，则a0＝1.令x＝，则a0＋＋2＋…＋2 009＝0，故＋2＋…＋2 009＝

2222222

－1.

答案：C

a

x－2?6的展开式中x－3的系数为( ) 7．487被7除的余数为a(0≤a<7)，则??x?A．4 320 B．－4 320 C．20 D．－20

1·解析：因为487＝(49－1)7＝C0497－C7496＋…＋C649－1，所以487被7除的余数为6，7·7·

6

x－2?6的展开式的通项为Tr＋1＝Cr所以a＝6.所以?(－6)r·x6－3r，令6－3r＝－3，得r＝3，6·?x?63·x－2?6的展开式中x－3的系数为C6所以?(－6)3＝－4 320. ?x?

答案：B 二、填空题

8．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．

解析：由1,3,5,7,9，…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1. 答案：2n－1

9．(a＋a)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________.

n－1247a3(a)7＝120a解析：C0＝512＝29，所以n＝10，所以T8＝C10n＋Cn＋Cn＋…＝2

132.

答案：120a

132

10．若(2x＋3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为________．