1.3.2 人教A版数学选修2-3 第1章 计数原理

答案：34

2．在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．

121

解析：由图知，数列中的首项是C22，第2项是C2，第3项是C3，第4项是C3，…，第

12

17项是C210，第18项是C10，第19项是C11.

121212121111

S19＝(C22＋C2)＋(C3＋C3)＋(C4＋C4)＋…＋(C10＋C10)＋C11＝(C2＋C3＋C4＋…＋C10)＋

2223(C22＋C3＋…＋C10＋C11)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C12＝

?2＋10?×9

＋220＝274. 2

知识点二 求二项展开式中二项式系数最大项或系数最大项 3.(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )

A．第5项 B．第6项或第7项 C．第6项 D．第7项

5665566

解析：T6＝C5n(2x)，T7＝Cn(2x)，依题意有Cn×2＝Cn×2?n＝8.

4(2x)4＝1 120x4.故选A项． 所以(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C8

答案：A

4．(1－x)13的展开式中系数最小的项为( ) A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项

解析：展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．

由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C项．

答案：C

知识点三 5.若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|. 解析：(1)令x＝0，则a0＝－1，

令x＝1，则a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128.① 所以a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令x＝－1，

则－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，② ①－②1由得：a1＋a3＋a5＋a7＝[128－(－4)7]＝8 256.

22

①＋②1

得：a0＋a2＋a4＋a6＝[128＋(－4)7]＝－8 128. 22

赋值法求系数和 (3)由

(4)法一：∵(3x－1)7展开式中a0，a2，a4，a6均小于零，a1，a3，a5，a7均大于零， ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|

＝a1＋a3＋a5＋a7－(a0＋a2＋a4＋a6)

＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7| 即为(1＋3x)7展开式中各项的系数和，

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. 6．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： (1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4； (2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.

解析：(1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.

(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. 所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2

＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.

知识点四 二项式系数性质综合应用 37.已知f(x)＝(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．

解析：令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各种的二项式

系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.

∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0，

∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5. (1)由于n＝5为奇数，

∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，

233

)(3x2)2＝90x6，

T3＝C25(x

T4＝C35(x

22232

)(3x2)3＝270x3.

2(5+2r)3r

(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Crx53·

．

假设Tr＋1项系数最大，

rrr1r－1

?3，?C53≥C5－·则有?

rrr＋1r＋1

3?C53≥C5·?

×3≥，??5－r?！r！?6－r?！?r－1?！?∴?5！5！≥×3，

??5－r?！r！?4－r?！?r＋1?！?

5！5！

??r≥6－r，∴?13

≥.?5－rr＋1?

31

79

∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 22